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《武汉大学2009数学(非数学类)竞赛模拟试题(2)及解答.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、武汉大学2009数学（非数学类）竞赛模拟试题（2）一、填空题n11、若有xn=∑，则limxn=333n→∞i=112+++?i2x⎧12tx24−⎪ln(1+≠tedtx)03∫2、已知fx()=⎨tan2x0在x=0处连续，试确定参数a的值。⎪ax=0⎩xnn−1nF()x3、设函数f()x可导，且f()00=，F()xt=−f(xtd)t，则lim=∫2nx→0x0∞∞2mn4、级数∑∑mmn的和为：mn==11333()nm+231−y5、已知()dx+++⋅ydxydxydxdx=−1，则xfy
2、=()=∫∫∫∫∫41−y1二、若f()x满足f()11=，且对x≥1时有fx′()=，证明：limf()x存在，且值小于22x+f()xx→∞π1+。4nn三、设f()xak=∑ksinx，且
3、()
4、
5、sin
6、fx≤x，又aii(,=12,,?n)为常数，试证
7、
8、∑kak≤1k=1k=3a2四、设函数fx()在闭区间[,]01上连续，在开区间(,)01内大于零，并且满足xf′()x=+f()xx（a为常数），2又曲线yf=()x与xy==1,0所围成的图形S的面积值为2，求函数yf=()x；并问a为何值
9、时，图形S绕ox轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。2223五、若ft()为(,)−∞+∞内的连续函数，且满足ft()=3∫∫∫f(x++yzdxdydz)+
10、
11、tt∈−(,∞+∞)，试确2222xyzt++≤11定f()与f(−)的值。334π2π∞∞∞∞nnn−++111n六、已知∑∑∑naxnnn−−−naxax10=，求级数∑axn。nnn===111n=1七、设二阶常系数线性微分方程x2xxyp′′++=y′qyle的一个特解为y=++ex()1e，试确定常数pq,,l，并求该方程得通解。a+b2
12、λ(x−b)(x+b)八、设函数f(x)在[a,b]上可导(a>,0b>)0，且满足方程2∫ef(x)dx=(b−a)f(b)a证明：存在ξ∈(a,b)使2λξf(ξ)+f′(ξ)=0成立。y22九、证明：î∫xfydy()−dx≥2，其中L为圆周曲线()()(xa−+−=ya1a>0)正向，f()x连续取正值。fx()L武汉大学2009数学（非数学类）竞赛模拟试题（2）解答一、填空题n11、若有xn=∑，则limxn=333n→∞i=112+++?i33312221解：由12+++=?ii[()i+1]
13、()12+++=?ii[(i+1)]22nnn111所以xn===∑∑2∑ii==111233+++??ii3()12+++2i=1ii()+1n111=−=22∑()(1−)i=1ii++11n故有：limx=2nn→∞2x⎧12tx24−⎪ln(1+≠tedtx)03∫2、已知fx()=⎨tan2x0在x=0处连续，试确定参数a的值。⎪ax=0⎩2x22t∫ln(1+tet)d24x202ln(14)+xe解：由lim()fx==lim44lim4xx→→0026xe32xxx→0xe+8xe6x24
14、xx222488xexe4==lim44lim4=xx→→0068xe26xx++xexe2x(68x4)34而f()x在x=0处连续，故f(0)=lim()fx所以有a=x→03xnn−1nF()x3、设函数f()x可导，且f()00=，F()xt=−f(xtd)t，则lim=∫2nx→0x0nxxnn11nnnn解：令uxt=−，则F()x=−∫∫f(xtdxt−)(−)=f()udunn00nx11∫fudu()fxnx()nn−1nF()xnn1f()x0故有lim===limlimlim22nn
15、2n−1nxx→→00xxx→022nxnx→0xn10fx()()−f1==limf′()0n22nxnx→0∞∞2mn4、级数∑∑mmn的和为：mn==11333()nm+∞∞mn22∞∞mn2∞∞mn2211∞∞mn∞∞mn2解：∑∑mmn==∑∑mmn∑∑nmmn()−=∑∑nm−∑∑nmnmn==11333()()nm++mn==11nnm333mn==11mnnm3333+mn==1133mn==113()nm33+等式右端第二式正好是左端将m与对调的结果，所以其和相等，故n∞∞mn211∞∞
16、mn∞n2∑∑mmn==∑∑nm()∑nmn==113332()nm+mn==113323n=1∞∞∞nnddn1x利用∑∑nx==nxx()()∑x=x=2nn==10dxn=0dx11−−x()x1∞∞mn211∞∞mn∞n11339222则有∑∑3332mmn==∑∑3n3232m()[](∑n==1243)=2mn==11()nm+mn==11n=1()1−23231−y5、已知()dx+++⋅ydxydxydxdx=
