等分积周线经典例题.doc

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1、等分积周线28.（本题满分12分）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得

2、小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5cm，AC＝6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．28．（本题12分）解：(1)作线段AC的中垂线BD即可.……2分(2)小华不会成功．若直线CD平分△ABC的面积那么CD是△ABC的中线，∵BC≠AC，∴BC＋BD≠AD＋AC∴CD不平分周长………4分∴小华不会成功．………5分（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段．

3、…………………6分②若直线不过顶点，可分以下三种情况：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示:过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G易求，BG=4，AG=CG=3设CF=x，则CE=8-x由△CEH∽△CBG，可得EH=根据面积相等，可得…7分∴x=3（舍去，即为①）或x=5∴CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．………8分（b）直线与AB、AC分别交于M、N,如图所示由(a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．(c)直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示过点A作AY⊥B

4、C于点Y，过点P作PX⊥BC于点X由面积法可得，AY=设BP=x，则BQ=8-x由△BPX∽△BAY，可得PX=根据面积相等，可得…………11分∴x=＞AB（舍去）或x=而当BP=时，BQ=＞BC，舍去．∴此种情况不存在．……………12分综上所述，符合条件的直线共有三条．