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《正四面体外接球和内切球球心.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、设正四面体为A-BCD.作三角形BCD中,CD边的中线BE,BC边的中线DF.BE,DF相交于G,连接AG.以下讨论AG的性质.连接AE,AF.由于BC垂直于AE,BC垂直于AF,故BC垂直于平面ADF,(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面)从而BC垂直于AG.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)同理,CD垂直于AG,即知AG垂直于平面BCD.即AG是过三角形BCD的外心且垂直这三角形所在平面的直线.故其上任何一点到三点BCD等距离.(1)再者,平面ABE是二面角平面C-AB-D的平分面.即:二面角C-AB-E=E-AB-D由此知,平面ABE上任何点到
2、平面ABC和平面ABD的距离相等.同理:平面ADF是二面角平面C-AD-B的平分面.知:平面ADF上任何点到平面ABD和平面ACD的距离相等.而AG在是上述两平面的交线,,故AG上的任何点到,此到三平面ABC,ABD,ACD的距离相等(2)同理,设三角形ADC的中心为H,连接BH,则BH有相应的性质:(1a)其上任意点到三点ADC的距离相等;(2a)其上任意一点到三平面:BCD,BCA,BAD距离相等..AG,BH都在同一平面ABE中,设它们相交于O,则O点到四点:A,B,C,D距离相等,且O点到四面ABC,ABD,BCD,ACD距离相等.即O点既是外接球的中心
3、,又是内切球的中心.求证:空间中两条异面直线有且只有一条公垂线!即已知:直线a和直线b为异面直线求证:它们有且只有一条公垂线我问过很多同学和老师他们都写不出来...注意证明公垂线的存在性和唯一性!存在性证明过直线b作平面A平行于a，将a向A投影得a'交b于点p过点p作直线c垂直于A∵c⊥A∴c⊥b且c⊥a'∵a‖a'且c∩a'=p∴c⊥a=p'则c即为a,b公垂线唯一性证明假设公垂线不唯一，过b上任一点m作公垂线交a于n∵mn⊥aa‖a'∴mn⊥a'又∵mn⊥b∴mn⊥A∵mn∩a=n且mn⊥a'∴mn∩a'=n'过平面外一点有且只有一条直线垂直于平面∴m=n'
4、=p(三点重合)得过点p有两条直线与A垂直,与定理(过平面上一点有且只有一条直线垂直于平面)矛盾,故假设不成立.唯一性得证.
