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1、第25卷第6期赤峰学院学报（自然科学版）Vol.25No.62009年6月JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition）Jun.2009用最小二乘法拟合曲面方程霍晓程，李小平（株洲职业技术学院，湖南株洲412001）摘要：插值算法在计算机图像学中的应用价值很大.把曲线拟合的最小二乘法推广到空间曲面的插值算法中去，并且通过最小二乘法拟合二次曲面方程来说明计算过程的复杂程度.关键词：最小二乘法；曲面方程；拟合；二次曲面中图分类号：O241.3文献标识码：A文章编号：1673-260X（2009）06-0011-
2、031引言问题2对于给定数据点（xi,yi,z）ii=1,2,…,N，求作一平图像的插值算法是数字图像处理的重要环节[1-2],计算机N面方程z=ax+by+c使总误差Q（a,b,c）=Σ[z2为i-（axi+byi+c）]应用领域中用得最多，但在计算数学教材中只讲了曲线方i=1程的插值算法，如何用插值算法拟合曲面方程未提及。本文最小[3-4]提到的用最小二乘法拟合曲面方程，与用最小二乘法拟合这里Q（a,b,c）是关于未知数a、b、c的三元函数，这一问曲线的方法类似，但曲面拟合的计算过程比曲线拟合的计N题就是要确定a、b和c各为何值时，三元函数Q（a,b,c
3、）=Σ算过程麻烦得多、复杂得多，只有当已知数据点（xi,yi,z）（ii=1,i=12,L,n）不共面、并且数量足够多的情况下，拟合出来的规范[z-（ax+by+c）]2的值最小？iii化曲面方程才会唯一，否则将会拟合许多不同的曲面方程由微积分的知识可知，这一问题的求解，可归结为求三来，下面笔者将逐一进行讨论.鄣Q元函数Q（a,b,c）的极值问题，即a、b和c应满足：=0，2探讨曲面拟合的最小二乘法鄣aN2.1曲面方程的规范化形式及其系数鄣Q鄣Q鄣Q=0，=0；而=2Σ[zi-（axi+byi+c）](-xi)=0问题1如何用规范化形式的多项式表示高次曲面方
4、鄣b鄣c鄣ai=1NNNN程呢？高次曲面方程有多少项呢？得aΣx2+biΣxiyi+cΣxi=Σxizi（1）0i=1i=1i=1i=1一次曲面方程(平面方程)可表为z=c+cy+c=Σciy1-i100100i,1-ixNNNNi=1同理得aΣ2+cxiyi+bΣyiΣyi=Σyizi（2）c00，共有3项，有3个系数c00、c10、c01（此处把常数项c00看作i=1i=1i=1i=1NNN一个系数）；aΣxi+bΣyi+cN=Σzi（3）22二次曲面方程可表为z=c20x+c11xy+c02y+c10x+c01y+c00=i=1i=1i=100联立（1
5、）、（2）、（3）得方程组，若系数矩阵的行列式D≠ΣΣΣci,j-ixiyj-iΣ，共有6项，有6个系数cij；0，可解得a、b、c的值.j=2i=j00由于“不在同一条直线上的三点确定一个平面”，故拟三次曲面方程可表为z=ΣΣΣci,j-ixiyj-iΣ，共有10项，合平面方程，给定的数据点（x,y,z）至少要三个点以上，否则iiii=3i=j无法进行拟合运算.有10个系数cij；2.3高次曲面方程的拟合……00问题3对于给定的一组数据点（xk,yk,zk）k=1,2,…,N，求m次曲面方程可表为z=ΣΣΣci,j-ixiyj-iΣ，共有1+2+…作m次(
6、m=N)多项式i=mi=j200N0011+(m+1)=(m+1)(m+2)项，有(m+1)(m+2)个系数cij；z=ΣΣΣci,j-ixiyj-iΣ使总误差Q=Σ鄣zk-ΣΣΣciyj-iΣ鄣22i,j-ixkkj=mi=jk=1j=mi=j定义1如果高次曲面方程的每一项都存在，则称为规为最小.01范化曲面方程，如m次曲面方程的规范化形式为z=Σ这里Q可看作是关于cij=(i,j=0,1,…,m)的函数，共有i=m20(m+1)(m+2)个未知量cij，所以上述拟合多项式的构造问题可ΣΣciyj-iΣi,j-ix鄣Qi=j以归结为求多元函数的极值问题，即
7、ci,j-i应满足=0，因鄣ci,j-i2.2平面方程的拟合·11·N007而得Σzij-iIyJ-I=0（求导后，此处I,JQ=2+cxy+cy2+cx+cy+c)]2ΣΣk-ΣΣΣci,j-ixkykΣΣxkkΣΣ[zk-(c20x11kk02k10k01k00k=1j=mi=jk=17是变量i,j的某个固定值）由鄣Q=0，得2Σ2+cxy+cy2+cx+cy+c)]x2=0[zk-(c20xk11kk02k10k01k00kN00N鄣c20k=1即ΣI+iJ+j-I-iΣzIyJ-IΣΣΣΣci,j-ixkykΣΣ=kxkk77k=1j=mi=jk=1
8、∴Σ4+cx3y+cx2y2+cx3+cx2y+cx
