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《求线性方程组最小二乘解的递推方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、!河北农业技术师范学院学报∀#∃。%&∋()∗+&,−./.012(&3..五)0.∗+4.∗.5.(67&++.2.8&+∀地求线性方程组最小二乘解的递推方法张学武#河北农业技术师范学院基砒部∃,),从线性代数知识知道个未知量9个方程的线性方程组可以写成如下的矩阵形,1:二;式#∃其中矩阵!,。‘。几?/≅<>∗Δ”∗+>气‘件葱!、卜#一、厂Χ+朴从⋯>、Α+‘.Β.6.6,!名=’‘一“’二‘Γ⋯≅犯Φ!’!≅介ΕΕΗ!今’、∗泪+∗小Δ斌>,、,,矩阵1为方程组的系数矩阵设其秩为Ι#
2、1∃矩阵恤5!∀#’‘’。一∀Δ,‘%’%。生一∃∃#%%%%%%⋯⋯,&。&∋。。Η⋯,。称为方程组的增广矩阵设其秩为丫()∗二,,当秩了()∗汀)∗时方程组(!∗是相容的即有解,当秩丫()∗今丫()∗,。时是不相容的∋+,。,现在讨论不相容的超定方程组(∗这种方程组没有精确的数值解但在实践。。中确实存在这类方程组而且必须去寻求某种意义的解通常是寻求最小二乘解设(!∗中各方程的两端误差依次为。&−,,,.,&#.&,,一(//⋯/凡∗。&−##,.,∃#.。一一/&/⋯/&.∃(∗(∗。。。。&.
3、,二&.。。。。二一(//⋯/.∗考虑指标函数0二。圣/。量/⋯/。乏(1∗.,,.#,,我们取使函数0取得最小值的⋯交作为方程组(!∗的近似解称为最小二乘,−.&,.&,⋯,.。解记作2(∗(3∗,.此时满足方程组收稿日期&!44∃一叹5671!河北农业技术师范学院学报∀!卷、厂%厂988)八Κ甘⋯&丝竺阮.,叭8二−二#ϑ∃,将(:∗中各式求导后整理得了、9≅∋∀?啤习‘%子尹>%,=一,&.&&&.&‘;.。−5一,臼曰(//⋯/∗〕ΑΒ,山‘,一<,.&/‘#.&/⋯/<,.。−(∗〕;!<。。一
4、∃艺<〔一&.&/、#.&/⋯/.−(∗〕苛一!·一’,!‘‘。Χ&Δ&&∗&∗&&∗&&&&&Δ&Δ&&∗&Δ〕&’·%。。。、∀、.−Ε,∗⋯<<&&、<<&、⋯&Δ<⋯誉,写成矩阵形式即为矛‘了Ι%、Η、了Γ内=ΦΓ、∃,、))2−)ϑ。称其为正则方程解之得一’Γ2二()伙∗)ϑ即为方程组(!。∗的最小二乘解,,下面考虑当方程的个数增加一个由∋个变为∋/!个时新方程组矛,Κ。≅!Κ.Κ/Κ&.&/⋯/Κ.−.ΑΑ,。Α&,.,/&&.&/⋯/#.二&%%%%%%%%%%%⋯⋯,%%%⋯⋯(Λ∗。
5、Μ2,二&.&。,。。//⋯/.−。/,,Κ.Κ。十,,#.&山Ε,,。.。−。.//⋯/不。,Ν。,的最小二乘解这当然可以采用上面的方法由(∗式求出来但是要这样做就必,。,.,须再次计算一个矩阵的逆矩阵而求逆矩阵在计算上是很复杂的事情为了解决这,&,个问题现在研究一种新方法在利用上面的方法求出∋个方程的最小二乘解后当方,,∋程的个数增加一个时就不再重复上面的求逆阵的方法而是直接利用个方程时的结,,,。果通过适当的计算求出∋/!个方程的最小二乘解实现递推运算期张学武求线性方程组最小二乘解的递推方法Λ,引
6、,。为了下面的讨论方便起见入一个指标9它与所讨论的方程的个数相联系这、、,∀样#+∃式中矩阵1;分别记作1#9∃;#9∃而#∃式应写成Γ‘9’4:#9∃〔1#∃1#9∃〕1#9∃;#9∃#∃,,,一,,:二Χ≅Χ≅Χ。式中#9∃#⋯∃它表示9个方程的最小二乘解于是方程组#Μ∃可以写成矩阵形式1#9Ν∃:Γ;#9Ν0∃#Ο∃其中‘矛>、!.6.6.6+.6Β.6.6.6.+>‘Π+=ΠΠ咬玩叭玩⋯6.+ΠΠ19ΝΓ;9ΝΓ#∃#∃,∀。采用上面的方法由#∃式可得方程组#Ο∃的最小二乘解一‘,:#9
7、Ν∃Γ〔14#9Ν+∃1#9Ν∃〕1#9Ν∃;#9Ν∃#∃:9Ν。现在来推导#∃与:#9∃的关系,,;首先将1#9Ν∃#9Ν0∃写成分块形式∃勺厂;#9∃产#()’‘‘’‘∃一“一,”‘“!’!#∃,1#衅Ε丫丫⋯9ΝΕ二火∗’/9Ν少#9Ν∃>从,∗4。ΝΓ∗9十≅,Θ,∗Θ十,≅,,∗ΝΘ)其中#+∃#⋯∃Ρ9Γ14919记#∃#∃#∃二4Ρ#。Ν0∃1#9Ν0∃1#9Ν0∃!一、+一1#9∃贝‘因“1‘9Ν‘’1‘9Ν‘,全#!4∃0’=∗土Ν∃,,Σ#’ΘΝ’0’∃∃#99·9Ν
8、1#9∃一#’=#,≅0〔∗(#9Ν∃∃Γ’∗∗4〔1#9∃1#9∃Ν#9Ν∃#9Ν∃〕Ρ9ΝΓΡ9Ν∗9Ν∗+9Ν所以#∃#∃#∃#∃一’Γ∗∗+一’从而Ρ#9Ν∃〔Ρ#9∃Ν#9Ν∃#9Ν0∃〕#ΔΔ∃,≅其次在这里引入一个求逆阵的公式,,设矩阵ΤΥ及ΤΝ?Υ7均为非奇异方阵则有ΤΝ?一‘Γ一‘一一’Υ一‘一‘一’一‘#Υ7∃ΤΤ?#Ν7ς?∃7ς#∃证明≅,以ΤΝ?Υ7右乘
