相对论质量速度关系的推导.pdf

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1、2011年第6期物理通报大学物理教学相对论质量速度关系的推导喻力华刘书龙陈昌胜项林JJ(华中科技大学物理学院湖北武汉430074)一些大学物理教材在推导狭义相对论质量速分离后它们在s参照系中速度大小同为，方向相度关系时，采用了两个全同粒子的一维完全非弹性反．分离后B粒子在S系中的速度为碰撞或两个全同粒子的分离过程¨J，其中都需要／／,，=用到碰撞或分离前后的质量守恒．在狭义相对论中，设S系相对A粒子静止，根据洛伦兹速度变换，质量守恒实际上反映的是碰撞或分离前后整个系统在S系中B粒子分离后的速度为的能

2、量守恒．文献[3]认为在质速关系的推导过程中，使用质量守恒将导致明显的逻辑缺陷；而文献蓉南可㈩[4]认为，质量守恒可以作为一种“合理假定”．本文详细比较了采用两个全同粒子的分离过程(两全同IbY粒子的一维完全非弹性碰撞过程与此类似)与《费恩曼物理学讲义》中所采用的两个全同粒子的二AB维完全弹性碰撞过程两种推导方法，以期能够合乎+-■■逻辑地得到质速关系．须注意的是，狭义相对论动力图1两个全吲粒子的分离学的逻辑起点是保留动量的牛顿力学形式P=m，，，在S系中系统能量守恒，并且必须假定能量守而质量将是速

3、度的单值函数．因为如果质量仍为常恒则质量也守恒，同时分离前后动量守恒量，将导致运动速度可能出现大于光速的情况；同(m+m)=mM=m——(2)时，在洛伦兹变换下，也将导致动量不守恒．另外，通1+f＼旦1C，过两个全同粒子分离过程中的能量守恒，可以得到其中，(m+m)是分离前的动量．在此用分离后一个在牛顿力学中不可能出现的有趣结果：内能由的质量(m+m)代替分离前的质量，此处使用了于在某一参照系中的运动而具有其相应的相对论运分离前后质量守恒．动能量(即相对论动能)，并且内能所对应的质量同由(1)式可以

4、得到样满足狭义相对论质速关系．2'／3==／—ZB—[l1一，＼／『1一I＼：：．B_Lx／I]Jl(3)1狭义相对论质量速度关系的推导由(2)式可以得到1．1两个全同粒子的分离+(号)首先分析两个全同粒子分离的过程，其中需要‰一(4)用到动量守恒定律和能量守恒定律．图1为原来静止于S参照系中的两个全同粒子，由于动量守恒，将(3)式代人(4)式即可得到质速关系作者简介：喻力华(1967一)，男，博士，副教授，主要从事凝聚(5)态物理及物理教学．一10一2011年第6期物理通报大学物理教学其中m为A粒

5、子静止质量，m为B粒子以速度“2mAI“I=2mBIuByI(8)运动的质量．这一方法的问题在于(2)式中使用了分离前后(wcosO)质量守恒，其根据是能量守恒．但由能量守恒得到质：：mAlHByI1(cos)量守恒的依据只能是能量与质量之间的简单线性关系，即质能关系E=mc，而质能关系的获得却须用令0角趋近于零，但并不等于零，即碰撞成为无质速关系．也就是说，质速关系的导出，需要质速关系本身成立；这将导致逻辑上的循环论证，即这一推导方法存在明显逻辑缺陷．1．2两个全同粒子的二维完全弹性碰撞如图2所示

6、，在s系中两个全同粒子以同样的之所以要利用这样的数学技巧，是因为如果直速度W相向运动，碰撞之前系统的动量为零．发生偏接采用沿轴方向的一维完全弹性碰撞，将无法得心完全弹性碰撞后，由于动量守恒，两粒子的速度大到(9)式；而令0角无限趋近于零，使A粒子在s系小相等且方向相反．同时，由于能量守恒，它们相互中沿Y方向的速度无限趋近于零，即A粒子在s系远离的速度应与碰撞前相等，仍为W．中静止，而B粒子在S系中也只有水平速度．这样，(10)式中的m为静止质量，m为运动质量；下面J●B————+C0S只需将w用B粒

7、子在s系中的运动速度表示即可．，B。B—A根据洛伦兹速度变换，B粒子在S系中的水平日入八日＼．．，／一方向速度为／日＼。+一：c一一2cA．一fw"Oh}A●I一●-A(a)(b)因此图2两个全同粒子的二维完全弹性碰撞设S系相对S系的速度为WCOSO，即在S系中，c一A粒子没有水平速度．根据洛伦兹速度变换，在S系一2[一，+意／～1u,21c2中碰撞前后两粒子Y方向的速度为将(12)式代入(10)式即可得到质速关系1XA，ymB=—√-=一=等=(1l3j)兰旦(6)从以上的推导过程可以看出，这种无

8、限趋近于y[一】一维的二维完全弹性碰撞方法避免了对质量守恒的要求，从而克服了用两粒子一维完全非弹性碰撞或UBy，两粒子分离的方法无法回避的逻辑缺陷．2内能的动能王f71【·+】下面我们以两全同粒子的分离过程为例(图由s系中碰撞前后系统Y方向动量守恒1)说明质量与能量完全等价，这样就必然导致内能一11一2011年第6期物理通报大学物理教学质量，则动量守恒不成立，即≠(18)如果分离前的质量用分离后的质量代替，即质量守恒(对应能量守恒)．由于分离后内能已经释放，即分离后的