高二数学上学期期末复习备考讲练 专题07 专题07 导数及其应用导学案 文.doc

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1、专题07导数及其应用一、学习目标:(1)理解导数的概念和几何意义,熟练掌握导数得运算;(2)能熟练运用导数研究函数的性质;(3)灵活运用导数知识解决实际问题。二、知识梳理1、函数从到的平均变化率:2、导数定义:在点处的导数记作;.3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率.4、常见函数的导数公式:①;②;③;④;⑤;⑥;⑦;⑧5、导数运算法则:;;.6、在某个区间内,若,则函数在这个区间内单调递增;若,则函数在这个区间内单调递减.7、求函数的极值的方法是:解方程.当时:如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.8、求函数在上的最大

2、值与最小值的步骤是:求函数在内的极值;将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。三、典型例题例1.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.【方法规律】利用导数的几何意义求切线方程时,关键是搞清所给的点是不是切点,常见类型有两种:(1)函数y=f(x)“在点x=x0处的切线方程”,

3、这种类型中(x0,f(x0))是曲线上的点,其切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(2)函数y=f(x)“过某点的切线方程”,这种类型中,该点不一定是切点,可先设切点Q(x1,y1),则切线斜率为f′(x1),再由切线过点P(x0,y0)得斜率为,又由y1=f(x1),由上面两个方程可得切点(x1,y1),即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.变式练习1已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y

4、=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【答案】:(1)y=13x-32.(2)y=13x,切点坐标为(-2,-26)(3)切点为(1,-14)或(-1,-18)切线方程为y=4x-18或y=4x-14.例2.求函数y=x3+ax(x∈R)的单调区间。【解析】y′=3x2+a.①当a≥0时,y′≥0,函数y=x3+ax在(-∞,+∞)上为增函数.②当a<0时,令3x2+a=0得x=±,所以y′>0的解集为∪.y′<0的解集为.所以函数y=x3+ax的增区间是,,减区间是.综上知:当a≥0时,函数y=x3+ax在(-∞,+∞)上单调递增.当a<0时,函数y=x3+ax在和上单调

5、递增,在上单调递减.【方法规律】在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,则f(x)在这个区间上为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)在这个区间上为减函数.应注意:在区间内f′(x)>0[或f′(x)<0]是f(x)在这个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,而不是必要条件.如果f(x)在某个区间上为增函数,那么f′(x)≥0;如果f(x)在某个区间上为减函数,那么f′(x)≤0.变式练习2.已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R),若f(x)在[2,+∞)上是增函数,求a的取值范围.【答案】 a≤16【解析】f′(x)=2x-,∵f(x)在[2,+∞)上是增函数,∴f

6、′(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,∴2x-≥0在[2,+∞)上恒成立,即a≤2x3在[2,+∞)上恒成立,即a≤(2x3)min=16,∴实数a的取值范围是a≤16.例3.已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在闭区间[-2,2]上的最大值和最小值.x-2-1(1,2)2f′(x)+0-0+f(x)-10↗↘-1↗2由表中数据知,函数f(x)在x=2处取得最大值2,在x=-2处取得最小值-10,∴函数f(x)在闭区间[-2,2]上的最大值为2,最小值为-10.【方法规律】利用导数研究函数的极值和最

7、值应明确求解步骤,求解时切记函数的定义域,正确区分最值与极值的不同.函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值比较大小;而最值是在整个区间上对函数值比较大小.函数的极值可以有多个,但最值只能有一个,极值只能在区间内取得,而最值还可以在端点处取得,最值只要不在端点处,必是一个极值.变式练习3.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4,使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3).(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值;(2)当x∈[2,3]时,求g(x)=f′(x

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