高二数学上学期期末复习备考讲练 专题07 专题07 导数及其应用导学案 文.doc

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1、专题07导数及其应用一、学习目标：（1）理解导数的概念和几何意义，熟练掌握导数得运算；（2）能熟练运用导数研究函数的性质；（3）灵活运用导数知识解决实际问题。二、知识梳理1、函数从到的平均变化率：2、导数定义：在点处的导数记作；．3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．4、常见函数的导数公式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧5、导数运算法则：；；．6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；若，则函数在这个区间内单调递减．7、求函数的极值的方法是：解方程．当时：如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．8、求函数在上的最大

2、值与最小值的步骤是：求函数在内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。三、典型例题例1.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．【方法规律】利用导数的几何意义求切线方程时，关键是搞清所给的点是不是切点，常见类型有两种：(1)函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，

3、这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定是切点，可先设切点Q(x1，y1)，则切线斜率为f′(x1)，再由切线过点P(x0，y0)得斜率为，又由y1＝f(x1)，由上面两个方程可得切点(x1，y1)，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．变式练习1已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y

4、＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．【答案】：(1)y＝13x－32.(2)y＝13x，切点坐标为(－2，－26)(3)切点为(1，－14)或(－1，－18)切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.例2.求函数y＝x3＋ax(x∈R)的单调区间。【解析】y′＝3x2＋a.①当a≥0时，y′≥0，函数y＝x3＋ax在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a<0时，令3x2＋a＝0得x＝±，所以y′>0的解集为∪.y′<0的解集为.所以函数y＝x3＋ax的增区间是，，减区间是.综上知：当a≥0时，函数y＝x3＋ax在(－∞，＋∞)上单调递增．当a<0时，函数y＝x3＋ax在和上单调

5、递增，在上单调递减．【方法规律】在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上为减函数．应注意：在区间内f′(x)＞0[或f′(x)＜0]是f(x)在这个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，而不是必要条件．如果f(x)在某个区间上为增函数，那么f′(x)≥0；如果f(x)在某个区间上为减函数，那么f′(x)≤0.变式练习2.已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围.【答案】　a≤16【解析】f′(x)＝2x－，∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f

6、′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，∴2x－≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立，即a≤(2x3)min＝16，∴实数a的取值范围是a≤16.例3.已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处有极小值－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在闭区间[－2,2]上的最大值和最小值．x－2－1(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－10↗↘－1↗2由表中数据知，函数f(x)在x＝2处取得最大值2，在x＝－2处取得最小值－10，∴函数f(x)在闭区间[－2,2]上的最大值为2，最小值为－10.【方法规律】利用导数研究函数的极值和最

7、值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值的不同．函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小；而最值是在整个区间上对函数值比较大小．函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值．变式练习3.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)＞0的x的取值范围为(1,3)．(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x