初中数学复习 分而治之.doc

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1、专题26分而治之——分类讨论阅读与思考在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法．运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类．正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行．初中数学分类讨论问题的常见形式有：1．一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；2．题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；3．一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过

2、讨论，才能保证结论的完整性；4．一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；5．对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论．例题与求解【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．（北京市宣武区中考试题）解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．【例2】解方程：｜－2｜+｜+3｜=+10．解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①≤－3；②－3＜≤2；③＞2．【

3、例3】若关于的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)+54=0的解都是整数，则符合条件的整数的值有___________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．【例4】如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A，C不重合），Q在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△P

4、QM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．（福州市中考试题）解题思路：对于(3)，使△PQM为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ为直角边，二是以PQ为斜边．【例5】证明：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．【例6】设a和b是相异实数，证明：存在整数m和n，使得，．（加拿大中学生竞赛试题）解题思路：a，b为相异实数，则必有a－b>0或a－b<0两种情况．能力训练1．已知a+b=－8，ab=8，化简=．（内江市

5、中考试题）2．已知实数a，b满足以a2－7a+2=0，a2－7b+2=0，则的值为．（淮阴市中考试题）3．在△ABC中过A作△ABC的高，垂足为D．若∠BAD=55°，∠CAD=25°，则∠BAC=．4．在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B（2，－3），点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为．（河南省竞赛诚题）5．平面上A，B两点到直线l的距离分别是2－与2+，则线段中点C到直线l的距离是．6．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆圆周上的一点，且OC2=AC·BC，则∠CAB=．（全国初中数学联赛试题）7．如图，在两直角三角形中，∠ACB

6、=∠ADC=90°，AC=，AD=2．当AB=时，这两个直角三角形相似．第7题图第10题图第11题图8．已知方程m22－(2m－3)+1=0的两个实数根的倒数和是S，则S的取值范围是．（天津市中考试题）9．关于的方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)+m2=0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是()A．－＜m＜－B．m≤－或m≥－C．－＜m＜D．m≤－或m≥（四川省选拔赛试题）10．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶

7、点，面积为2的阵点平行四边形的个数为()A．3个B．6个C．7个D．9个（武汉市四月调考试题）11．如图，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的点，使以F，A，D为顶点的三角形和以F，B，E为顶点的三角形相似，则这样的点F有()（绍兴市竞赛试题）A．1个B．2个C．3个D．4个12．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：①若x2=a2，则x=a．②方程2x(x－1)=x－1的解为x=0．③若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边长为5．其中答题完全正确的题目个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个（重庆市中考试题）13．