高中数学第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定教案 新人教A版必修.doc

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1、2.3.1直线与平面垂直的判定教学目的：1理解直线与平面垂直的定义；2掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程；3应用直线与平面垂直的判定定理解决问题教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1直线和平面的位置关系观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直

2、线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：二、讲解新课：1定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平

3、面的位置关系如何？）②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足③a⊥等价于对任意的直线Ì，都有a⊥利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面即若⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì，则⊥已知：、是平面内的两条相交直线，直线与的交点为B，且⊥，⊥求证：⊥分析：在内平移，，使它们都通过点B，这时，仍保持和垂直过点B作任一条不与，重合的直线g，如果我们能根据⊥且⊥推出⊥g，那么就证明了直线和过点B的所有直线

4、都垂直，即垂直为此，我们在上自点B起于平面的两侧分别截取BA=BA′，于是，都是线段AA′的垂直平分线，它们上面的点到A、A′的距离相等如果我们能证明g上的点到A、A′的距离也相等，那么g也是AA′的垂直平分线，于是g就垂直于在g上任取一点E，过点E在内作不通过点B的直线，分别与，相交于点C、D，容易证明△ACD≌A′CD，进而又可证明△ACE≌△A′CE于是EA=EA′，g⊥一般地：证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知：是平面内的两条相交直线，直线与的交点为，且，求证：证明：过点作∵∴，过任作直线，在上于平面两侧分别截

5、取，∴都是的垂直平分线，∴，在上任取点，过在平面内作不通过的直线分别与相交于点，∴，∴，又，∴，∴∴，∴．三、讲解范例：例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知：a∥b,a⊥求证：b⊥α证明：设是内的任意一条直线本题的作用：要证b⊥，没有办法？而已知a∥b，只需证a⊥即可，在证题时起转移作用，但具体要证a⊥还需其他方法例2过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面和一点P求证：过点P与垂直的直线只有一条证明：不论在平面内或外，设直线，垂足为（或）若另一直线，设确定的平面为，且∴又∵在平面内，与平面几何中的定理矛盾所以过点

6、与垂直的直线只有一条例3有一根旗杆高，它的顶端挂一条长的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上），如果这两点都和旗杆脚的距离是，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在和中，∵∴∴即又∵不共线∴平面，即旗杆和地面垂直；例4已知直线⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥求证：AP在α内证明：设AP与确定的平面为β如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM∵⊥α，∴AM又AP⊥，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于，这是不可能的所以AP一定在α内例5求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知:∉α求证:过点有且只有一个平面β∥α证明:过

7、平面α外一点作直线α,再过点作平面β,使β,则α∥β.因为过点且与α平行的平面必与α的垂线也垂直,而过点与垂直的平面是唯一的,所以过点且与α平行的平面只有一个.指出:由例2可得α∥β,α∥γ⇒β∥γ.例6已知：空间四边形，，，求证：证明：取中点，连结，∵，∴，∴平面，又∵平面，∴．四、课堂练习：1．选择题（1）“直线垂直于平面a内的无数条直线”是“⊥a”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线与平面a的一条垂线垂直，那么直线与平面a的位置关系是（）（A）Ìa（B）⊥a（C）∥a（D）Ìa或∥a答案：（1）B(2

8、)D2．填空题（1）过直