高中数学 课时31 圆的一般方程学案 苏教版必修 .doc

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1、课时31圆的一般方程【课标展示】1.掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程;2.能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题;3.解题过程中能分析和运用圆的几何性质.【先学应知】(一)要点1.以为圆心,为半径的圆的标准方程:.2.将展开得: .3.形如的都表示圆吗? .(1)当时,方程表示以为圆心,为半径的圆;(2)当时,方程表示一个点;(3)当时,方程无实数解,即方程不表示任何图形;4.圆的一般方程:.注意:对于圆的一般方程(1)和的系数相等,且都不为(通常都化为);(2)没有这样的二次项;(3)表示圆

2、的前提条件:,通常情况下先配方配成,通过观察与的关系,观察方程是否为圆的标准方程,而不要死记条件.(二)练习1、下列方程各表示什么图形?(1);(2);(3).2、圆的圆心为:,半径为.3、过三点的圆的方程为.【合作探究】例1、求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。【课堂巩固】求圆关于直线对称的图形的方程.【课时作业31】1.若方程表示圆,则实数的取值范围是.2.经过三点的

3、圆的方程是.3.已知圆与相切,则的值为.4.M(3,0)是圆内一点,过M点最长的弦所在的直线方程是.5.如果圆的方程为,那么当圆的面积最大时,圆心坐标是.6.若实数满足,则的最大值是.7.求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆的方程.8.已知圆,及点,(1)若在圆上,求线段的长及直线的斜率;(2)若为圆上任意一点,求长的最大值和最小值.9.(探究创新题)河道上有一座圆拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面为9m,拱圈内水面宽22m.船只在水面以上部分高6.5m、船顶部宽4m,故通行无阻.近日水位暴涨了2

4、.7m,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身.试问船身必须降低多少,才能顺利地通过桥洞?10.设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.【疑点反馈】(通过本课时的学习、作业之后,还有哪些没有搞懂的知识,请记录下来)课时31圆的一般方程例1分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程解:设所求的圆的方程为:∵在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐

5、标代入上面的方程,可以得到关于的三元一次方程组,即解此方程组,可得:∴所求圆的方程为:;得圆心坐标为(4,-3).或将左边配方化为圆的标准方程,,从而求出圆的半径,圆心坐标为(4,-3)例2分析:如图点A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,求出点M的轨迹方程。解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是①上运动,所以点A的坐标满足方程,即②把①代入②,得【课堂巩固】【解】可化为,圆心关于直线的对称点为,所以对称的图形的方程为:.【课时

6、作业31】1.解析:由得,.2.3..4.5.解析:化为圆的标准方程,当时,最大,则圆的面积最大.圆心坐标是.6..解析:方程表示以为圆心,3为半径的圆.可看作圆C上任一点到原点的距离,其最大值为OC长度与半径之和,所以的最大值是.7.解:设所求圆的方程为.则,解得.∴圆的方程为.8.解:(1)∵在圆上,代入圆的方程化简可得:,∴,从而,,.(2)圆,得,所以圆心,半径为,所以,.9.解:画出正常水位时的桥、船的示意图如图1;涨水后桥、船的示意图如图2.以正常水位时河道中央为原点,建立如图2所示的坐标系.设桥拱圆顶的

7、圆心O1(0,y1),桥拱半径为r,则桥拱圆顶在坐标系中的方程为x2+(y-y1)2=r2.桥拱最高点B的坐标为(0,9),桥拱与原始水线的交点A的坐标为(11,0).圆O1过点A,B,因此02+(9-y1)2=r2,112+(0-y1)2=r2,两式相减后得121+18y1-81=0,y1=-»-2.22;回代到两个方程之一,即可解出r»11.22.所以桥拱圆顶的方程是x2+(y+2.22)2=125.94.当船行驶在河道的正中央时,船顶最宽处角点C的坐标为(2,y).使船能通过桥洞的最低要求,是点C正好在圆O1上

8、,即22+(y+2.22)2=125.94,解出y»8.82.扣除水面上涨的2.70,点C距水面为8.82-2.70=6.12.∴船身在水面以上原高6.5,为使船能通过桥洞,应降低船身6.5-6.12=0.38(m)以上.10.解:设动点P的坐标为P(x,y),由=a(a>0),得=a,化简得:(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a

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