高中数学 第二章 概率 2.5.1 离散型随机变量的均值学案 苏教版选修.doc

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1、2.5.1　离散型随机变量的均值1．了解取有限值的离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值．(重点、难点)2．掌握随机变量均值的线性性质及两点分布、超几何分布和二项分布的均值公式．(重点)3．能运用离散型随机变量的均值来解决一些简单的实际问题．(重点)[基础·初探]教材整理　离散型随机变量的均值阅读教材P68～P70，完成下列问题．1．离散型随机变量的均值(数学期望)的定义若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E(X)＝

2、μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.2．超几何分布、二项分布的数学期望(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝.(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.1．下列说法正确的有________．(填序号)①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4；④随机变量X的均值E(X)＝.【解析】　①错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变

3、量X本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.【答案】　③2．已知离散型随机变量X的分布列为：X123P则X的数学期望E(X)＝________.【解析】　E(X)＝1×＋2×＋3×＝.【答案】　3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________．【解析】　E(X)＝np＝4×＝.【答案】　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]超几何分布、二项分

4、布的数学期望　(1)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.(2)某运动员投篮命中率为p＝0.6，则①求一次投篮时命中次数ξ的均值E(ξ)；②求重复5次投篮时，命中次数η的均值E(η)．【精彩点拨】　(1)利用超几何分布求E(X)．(2)利用二项分布求E(ξ)和E(η)．【自主解答】　(1)由题意可知，X～H(2,3,5)，∴E(X)＝＝.【答案】　(2)①由题意可知，ξ～B(1,0.6)，∴E(ξ)＝0.6.②由题意可知，η～B(5,0.6)，∴E(η)＝5×0.6＝3.1．通过本例可以看出，若

5、随机变量服从超几何分布或二项分布，利用各自的数学期望公式求均值更方便．2．超几何分布、二项分布的数学期望的求法步骤：(1)判断随机变量是否服从超几何分布或二项分布；(2)找出相应的参数；(3)利用数学期望公式求E(X)．[再练一题]1．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)A．100　　　B．200　　　C．300　　　D．400【解析】　由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1000×0.

6、1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.【答案】　B定义法求离散型随机变量的数学期望　盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．【精彩点拨】　(1)利用古典概型求解．(2)先写出X的可能取值，计算出概率并列出概率分布，利用数学期望定义求解．【自主解答】　(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、

7、2个黄球或2个绿球，所以P＝＝＝.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P因此随机变量X的数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＝.1．求解本题的关键是明确随机变量X的含义，同时计算P(X＝2)时采用了间接法．2．定义法求数学期望的步骤：(1)