高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 平面向量基本定理学案 新人教B版必修.doc

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1、2．2　向量的分解与向量的坐标运算2．2.1　平面向量基本定理[学习目标]　1.理解平面向量基本定理及其意义.2.了解向量一组基底的含义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.掌握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.4.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．[知识链接]1．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量，，，，，a.答　通过观察，可得：＝2e1＋3e2，＝－e1＋4e2，＝4e1－4e2，＝－2e1＋5e2，＝2e1－5e2，a＝－2e1.2．0能不能作为基底？答　由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为

2、基底．3．平面向量的基底唯一吗？答　不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．[预习导引]1．平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.2．基底把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．3．直线的向量参数方程式已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上任意一点P，存在唯一的实数t满足向量等式＝(1－t)＋t，反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点

3、P与之对应．向量等式＝(1－t)＋t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．4．线段中点的向量表达式在向量等式＝(1－t)＋t中，若t＝，则点P是AB的中点，且＝(＋)，这是线段AB的中点的向量表达式.要点一　用基底表示向量例1　如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、，表示出来．解　＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，＝－＝－(＋)＝(a＋b)．规律方法　(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．(2)将向量c用a

4、，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解．跟踪演练1　如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a、b表示，，.解　＝＝＝(－)＝(a－b)，∴＝＋＝a＋b.∵＝＝，∴＝＋＝＋＝＝(a＋b)．＝－＝a－b.要点二　平面向量基本定理的应用例2　如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．解　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝－

5、λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得∴＝，∴AP∶PM＝4∶1.规律方法　(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础．应根据条件灵活应用，熟练掌握．跟踪演练2　如图，已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值．解　(1)∵A为BC的中点，∴＝(＋)，＝2a－b.＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.(

6、2)∵＝λ，∴＝－＝λ－＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.∵与共线，∴存在实数m，使得＝m，即(λ－2)a＋b＝m，即(λ＋2m－2)a＋b＝0.∵a，b不共线，∴解得λ＝.1．已知O、A、B三点不共线，设＝a，＝b，且P为靠近A点的线段AB的一个三等分点，则等于(　　)A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b答案　B解析　∵＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.2．已知AD为△ABC的中线，则等于(　　)A.＋B.－C.－D.＋答案　D解析　延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，BE，则四边形ABEC是平行四边形，则＝＝(＋)＝＋.3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则

7、等于________．答案　a＋b解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.4．已知G为△ABC的重心，设＝a，＝b.试用a、b表示向量.解　连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，＝＝(＋)＝×＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．