高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数的概念 2.1.2 函数的定义域、值域课堂学案 苏教版必修.doc

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1、2.1.2函数的定义域、值域课堂导学三点剖析一、求函数的定义域【例1】求下列函数的定义域,并用区间表示.（1）f(x)=；（2）f(x)=;(3)f(x)=；(4)f(x)=-+.思路分析：当函数解析式给出，定义域就是使其解析式有意义自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时［如（3）（4）］，定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合.解析：（1）要使f(x)=有意义，必须x-2≠0，所以x≠2.故函数的定义域是{x

2、x≠2}，区间表示为（-∞,2)∪(2,+∞).(2)要使f(x)=有意义，必须3x+2≥0，所以x≥-.故函数

3、的定义域是{x

4、x≥-}，区间表示为［-,+∞］.(3)由于00没有意义，所以x+1≠0.①又分式的分母不可为零，开偶次方根被开方数非负，所以

5、x

6、-x≠0，即x<0.②由①②可得函数的定义域为{x

7、x<0且x≠-1}，区间表示为（-∞，-1）∪（-1，0）.（4）要使函数f(x)=-+有意义，必须所以-≤x<2且x≠0，故函数的定义域为{x

8、-≤x<2且x≠0}，区间表示为［-,0)∪（0，2）.二、函数值域的求法【例2】求下列函数的值域：（1）y=x2-4x+6，x∈［1，5）；（2）y=.解析：这是二次函数在定义域范围内求值域的问题，可用配方法，结合二

9、次函数的图象（如右图）来求.（1）配方，得y=（x-2）2+2.∵x∈［1,5)，∴函数的值域为{y

10、2≤y<11}.(2)∵y==-，显然，y1=5+4x-x2的最大值是9，故函数y=的最大值是3，且y≥0.∴函数y=的值域是［0，3］.温馨提示求函数值域常用的方法：①观察法：根据完全平方式、算术根、绝对值都是非负数的特点，以及函数的图象、性质等，观察得出函数的值域.②配方法：二次函数或转化为形如F（x）=a［f(x)］2+bf(x)+c的函数的值域，均可采用配方法求之.③分离变量法：一般形如y=可用此法求解.④换元法：形如y=ax+b±(a、b、c、d均

11、为常数，且ac≠0）的函数，一般设t=，然后x用t表示出来，代入原函数，使原函数转化为关于t的二次函数，从而求出函数的值域，一定要注意t的范围，t≥0.三、求形如f［g(x)］的定义域【例3】若函数f(x)的定义域是［1，4］，求f(x+2)、f(x2)的定义域.解析：∵f(x)的定义域为［1,4］,∴使f(x+2)有意义的条件为1≤x+2≤4，即-1≤x≤2，则f(x+2)的定义域是［-1，2］.同理，由1≤x2≤4，即-2≤x≤-1或1≤x≤2，则f(x2)的定义域为［-2,-1］∪［1，2］.温馨提示这里易误解为：由1≤x≤4,∴3≤x+2≤6.∴f(

12、x+2)的定义域为［3，6］，忽视了f(x+2)有意义的条件，习惯性地代换x是错因.各个击破类题演练1函数y=的定义域为___________________.解析：由已知应有解得x≥-4且x≠-2，所以定义域为［-4,-2）∪（-2，+∞).答案：［-4,-2）∪（-2，+∞)变式提升1已知函数f(x)的定义域是［a,b］，其中a<0

13、a

14、>b，求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.解析：若g(x)的定义域为M，f(x)及f(-x)的定义域分别为A、B，则有M=A∩B，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求.∵函数f(x)有定义域为［a,b］,

15、∴a≤x≤b.若使f(-x)有意义，必须有a≤-x≤b,即有-b≤x≤-a.∵a<00>-b.又∵

16、a

17、>b>0,∴a<-b,且b<-a.∴函数g(x)的定义域为{x

18、a≤x≤b}∩{x

19、-b≤x≤-a}={x

20、-b≤x≤b}.类题演练2求下列函数的值域.(1)y=3x+2,x∈{-1,0,1,2};(2)y=-1;(3)y=-x2-2x+3;(4)y=;解析：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2}，∵f(-1)=3×(-1)+2=-1,f(0)=2,f(1)=5,f(2)=8.∴函数的值域为{-1，2，5，8}.(2)∵≥0,∴-1≥-1.

21、∴函数值域是［-1，+∞).(3)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.∴当x=-1时，ymax=4.∴函数的值域为（-∞，4］.(4)y==1-,∵≠0，∴y≠1.∴函数值域是（-∞，1）∪（1，+∞）.变式提升2设A=［1，b］(b>1)，函数f(x)=(x-1)2+1,当x∈A时，f(x)的值域也是A，试求b值.解析：∵x∈A，∴1≤x≤b，当x=1时，函数f(x)的最小值为1.当x=b时，f(b)=(b-1)2+1为最大值.∴（b-1)2+1=b，整理可得b2-4b+3=0，解得b=1或b=3.∵b>1,∴b=3.类题演练3已知f(x2-2x+

22、3)的定义域为［-2，1］，求函数f(x)的定义域.