高中数学 第二章 2.3等差数列的前n项和（二）导学案新人教A版必修.doc

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1、§2.3　等差数列的前n项和(二)课时目标1．熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用．2．掌握等差数列前n项和的最值问题．3．理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.1．前n项和Sn与an之间的关系对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝2．等差数列前n项和公式Sn＝＝na1＋d.3．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当

2、d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．一个有用的结论：若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于(　　)A．nB．n2C．2n＋1D．2n－1答案　D2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)A．－2B．－1C．0D．1答案　B解析　等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满

3、足5

4、1B．－1C．2D.答案　A解析　由等差数列的性质，＝＝＝，∴＝＝×＝1.6．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(　　)A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为Sn的最大值答案　C解析　由S50.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d<0.由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0即S9

5、中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和Sn的最大值是________．答案　169解析　方法一　利用前n项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，所以Sn＝25n＋(n－1)×(－2)＝－(n－13)2＋169，由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.方法二　先求出d＝－2，因为a1＝25>0，由　得所以当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.方法三　由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a

6、16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.答案　10解析　由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.由Sn＝＝＝155，得n＝10.10．等差数列{an}中，a1<

7、0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．答案　10或11解析　方法一　由S9＝S12，得d＝－a1，由，得，解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二　由S9＝S12，得d＝－a1，由Sn＝na1＋d＝n2＋n，得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1(a1<0)，由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．三、解答题11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项