高中数学 第三章 变化率与导数 4 导数的四则运算法则学案 北师大版选修.doc

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1、§4导数的四则运算法则导数的加法与减法法则已知函数f(x)＝，g(x)＝x，那么f′(x)＝－，g′(x)＝1.问题1：如何求h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？提示：用定义，由h(x)＝＋x，得h(x＋Δx)－h(x)＝＋x＋Δx－－x＝Δx－.则f′(x)＝＝＝1－.问题2：[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)成立吗？提示：成立．问题3：[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)成立吗？提示：成立．问题4：运用上面的结论你能求出(3x2＋tanx－ex)′吗？提示：可以，(3x2＋tanx－ex)′＝6x＋－ex.导

2、数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．导数的乘法与除法法则已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x2，则f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x.问题1：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？提示：因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，f′(x)g′(x)＝3x2·2x＝6x3，所以上式不成立．问题2：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)成立吗？提示：成立．问题3

3、：′＝成立吗？提示：不成立．问题4：′＝成立吗？提示：成立．导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)′＝.(2)[kf(x)]′＝kf′(x)．1．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)≠f′(x)g′(x)，避免与[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)混淆．2．若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)．3．类比[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)记忆′＝.导数公

4、式及运算法则的应用[例1]　求下列函数的导数：(1)f(x)＝xlnx；(2)y＝；(3)y＝2x3＋log3x；(4)y＝x－sincos.[思路点拨]　观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解．[精解详析]　(1)f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.(2)法一：y′＝()′＝＝.法二：y＝＝1－，∴y′＝(1－)′＝(－)′＝－＝.(3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋.(4)y＝x－sincos＝x－sinx，∴y′＝(x－sinx)′＝1

5、－cosx.[一点通]　解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．1．用导数的运算法则推导：(1)(tanx)′＝；(2)(cotx)′＝－.解：(1)(tanx)′＝′＝＝＝.(2)(cotx)′＝′＝＝＝－.2．求下列函数的导数．(1)y＝4cosx－3sinx；(2)y＝；(3)y＝xnex.解：(1)y′＝(4cosx－3sinx)′＝(4cosx)′－(3sinx)′＝－4sinx－3cosx.(

6、2)y′＝()′＝＝＝.(3)y′＝(xnex)′＝(xn)′ex＋xn(ex)′＝(nxn－1＋xn)ex.利用导数解决参数问题[例2]　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．[思路点拨]　题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a，b，c的值．[精解详析]　因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由解得所

7、以a，b，c的值分别为3，－11,9.[一点通]　1．由导数的几何意义，结合已知条件建立关于参数的方程组是解决此类问题的关键．2．若已知(x0，y0)处的切线方程为y＝kx＋b，则有f′(x0)＝k，y0＝kx0＋b.3．若函数y＝(m＞0)在点x＝x0处的导数等于0，那么x0＝(　　)A．m　　　　　　　　　B．－mC．±mD．m2解析：由y′＝′＝1－，结合题意得1－＝0⇒x＝m2⇒x0＝±m.答案：C4．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为(　　)A.B.C.D.解析：因为y＝x3－1⇒y′

8、＝3x2，y＝3－x2⇒y′＝－x，由题意得3x·(－x0)＝－1，解得x＝，即x0＝＝.答案：D5．若f′(x)为一次函数，且x2f′(x)＋(－2x＋1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．