高中数学 第3章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用学案 苏教版必修.doc

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1、3.4.2　基本不等式的应用1．掌握基本不等式及变形的应用．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．3．能应用基本不等式解决生活中的应用问题．[基础·初探]教材整理　基本不等式与最值阅读教材P99～P101，完成下列问题．已知a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要注意：(1)和a＋b一定时，积ab有最大值；(2)积ab一定时，和a＋b有最小值；(3)取等号的条件.1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________．【解析】　∵x，y∈(0，＋∞)，∴xy≤2＝400，当且仅当x＝y＝20时等号成立．【答案】　4002．把总长为16m的篱笆围成一个矩形场地

2、，则矩形场地的最大面积是________m2.【解析】　设一边长为xm，则另一边长为(8－x)m，则面积S＝x(8－x)≤2＝16，当且仅当x＝8－x，即x＝4时等号成立．【答案】　16[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________

3、________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]利用基本不等式求条件最值　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．(2)若x＋2y＝1，且x>0，y>0，则＋的最小值为________.【导学号：】【精彩点拨】　注意条件“＋＝1”及“x＋2y＝1”的作用．【自主解答】　(1)∵＋＝1，x>0，y>0，∴x＋

4、y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝16.当且仅当＝，即x＝4，y＝12时等号成立．(2)∵x＋2y＝1，x>0，y>0，∴＋＝(x＋2y)＝8＋2＋＋≥10＋2＝18.当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立．【答案】　(1)16　(2)18解决含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量”替换，“1”的替换，构造不等式求解．[再练一题]1．(1)已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．(2)已知点M(a，b)在直线x＋y＝1上，则的最小值为________．【解析】　(1)法一　由ab＝a＋b＋3，得b＝.由b>0，得>0.∵a>0，∴a>1.∴ab＝a·＝＝＝

5、(a－1)＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号，此时b＝3.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．法二　由于a，b为正数，∴a＋b≥2，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即()2－2－3≥0，∴≥3，故ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．(2)因为点M(a，b)在直线x＋y＝1上，所以a＋b＝1，因为a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以≥＝，所以的最小值为.【答案】　(1)[9，＋∞)　(2)利用基本不等式解实际应用题　某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为

6、x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)【精彩点拨】　根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论．【自主解答】　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋＝560＋48.当x＋取最小值时，y有最小值．∵x>0，∴x＋≥2＝30，当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．所以当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．

7、在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．[再练一题]2．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费