高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修.doc

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1、1.2.2　同角三角函数关系1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.(重点)2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)[基础·初探]教材整理　同角三角函数的基本关系阅读教材P16～P17的有关内容，完成下列问题．1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.2．商数关系：tanα＝.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(　　)(2)对任意角α，＝tan都成立．(　　)(3)若sinα＝，则cosα＝.(　

2、　)【解析】　(1)√.符合同角三角函数的关系．(2)×.等式＝tan的条件是即α≠π＋2kπ，k∈Z.(3)×.因为α的范围不明，故cosα＝±＝±.【答案】　(1)√　(2)×　(3)×2．已知α是第二象限角，且cosα＝－，则tanα＝________.【解析】　∵α是第二象限角，∴sinα＞0.又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝－2.【答案】　－2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作

3、型]利用同角基本关系式求值　已知sinα＝－，求cosα，tanα的值．【精彩点拨】　【自主解答】　因为sinα＜0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－2＝.如果α是第三象限角，那么cosα＜0.于是cosα＝－＝－，从而tanα＝＝×＝.如果α是第四象限角，那么cosα＝，tanα＝－.同角三角函数的基本关系式揭示了同角三角函数之间的关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要时必须进行讨论.[再练一题]1．已知tanα＝，且α是

4、第三象限角，求sinα，cosα的值．【解】　由tanα＝＝，得sinα＝cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，∴cosα＝－，sinα＝cosα＝－.三角函数式的化简、求值　化简：·.【精彩点拨】　―→【自主解答】　原式＝·＝·＝·＝·＝·＝＝±1.化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化

5、简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.[再练一题]2．化简下列各式：(1)tanα，其中α是第二象限角．(2)＋0＜α＜.【导学号：】【解】　(1)原式＝tanα＝tanα＝tanα·＝－1.(2)原式＝＋＝＋∵0＜α＜，∴0＜＜.∴0＜sin＜cos.∴原式＝cos－sin＋sin＋cos＝2cos.三角函数式的证明　求证：＝.【精彩点拨】　从左边利用“1＝sin2x＋cos2x”及平方差公式推右边便可．【自主解答】　∵(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxco

6、sx，∴左边＝＝＝＝＝右边．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tanα，求关于sinα，cosα的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.[再练一题]3．证明下列三角恒等式：(1)＝；(2)＝.【证明】　(1)左边＝＝＝＝.右边＝＋＝＋＝.∴左边＝右边，等式恒成立．(2)左边＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成

7、立．[探究共研型]“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系探究1　已知sinα±cosα的值，能求sinαcosα的值吗？反之呢？【提示】　设sinα±cosα＝m，则(sinα±cosα)2＝m2，即1±2sinαcosα＝m2，所以sinαcosα＝±.反之也可以，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，开方便可．探究2　已知sinα＋cosα的值，如何求sinα－cosα或cosα－sinα的值？【提示】　设sinα＋cosα＝t，则1＋2sinαcosα＝t2，从而2sinαcos

8、α＝t2－1∴1－2sinαcosα＝2－t2从而(sinα－cosα)2＝2－t2，对上式开方便可得出“sinα－cosα”或“cosα－sinα”的值．　(2016·南京高一检测)已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，求：(1)sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．【精彩点拨】　【自主解答】　(1)∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋