高中数学 1.5.3定积分的概念学案 新人教A版选修 .doc

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1、1．5.3　定积分的概念1．了解定积分的概念．2．会用定义求一些简单的定积分．1．定积分的概念：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2、区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质．(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．想一想：直线x＝0

3、,x＝π，y＝0与曲线y＝sinx所围成的图形的面积用积分表示为sin_xdx．想一想：用定积分表示下图中阴影部分的面积．答案：S＝f1(x)dx－f2(x)dx想一想：定积分x3dx的取值的符号为正，x3dx的取值的符号为负，x3dx的取值的符号为0．1．当a0，则f(x)dx的值(A)A．一定是正的B．一定是负的C．当00时，f(x)dx>0.2．下列等式不成立的是(C)

4、A.[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dxB.[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－aC.f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx＝sinxdx＋sinxdx解析：利用定积分的性质进行判断，C不成立．例如xdx＝，x2dx＝，x3dx＝.但x3dx≠xdx·x2dx.　　　　　　3．计算：dx＝(C)A．8πB．16πC．4πD．32π解析：dx表示以原点为圆心，半径为4的圆的面积，∴dx＝π·42＝4π.1．定积分f(x)dx的大小(A)A．与f

5、(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]及ξi的取法无关C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关2．下列结论中成立的个数是(C)①x3dx＝·　②x3dx＝·　③x3dx＝·A．0B．1C．2D．3解析：由定积分的定义知，②、③成立，故选C.3．(2014·高考陕西卷)定积分(2x＋ex)dx的值为(C)A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1解析：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)f0＝(12

6、＋e1)－(02＋e0)＝e，故选C.4.dx＝________．解析：积分dx表示如下图所示的圆的面积的.所以S＝π(2)2＝π.答案：π5．定积分(－3)dx等(A)A．－6B．6C．－3D．3解析：3dx表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，(－3)dx＝－3dx＝－6.故选A.6．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是(B)A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．a＝b＞cD．a＞c＞b解析：根据定积分的几何意义，易知x3dx＜x2dx＜xdx，即a＞b＞c，故选B.7

7、．(2013·天津高二检测)曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为_____________________．解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－dx＝dx答案：dx8．设f(x)＝则f(x)dx＝__________．解析：∵f(x)＝∴f(x)dx＝(x＋1)dx＋(－2x＋4)dx.又由定积分的几何意义得(x＋1)dx＝(1＋2)×1＝，(－2x＋4)dx＝×1×2＝1，∴f(x)dx＝＋1＝.答案：9．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．(1)x2d

8、x＋x2dx；(2)(1－x)dx＋(x－1)dx.解析：(1)原式＝x2dx，如下图(1)所示．(2)(1－x)dx＋(x－1)dx＝

9、1－x

10、dx，如图(2)所示．10．计算定积分：[－x]dx.解析：[－x]dx＝dx－xdx，令S1＝dx，S2＝xdx.S1、S2的几何意义如图(1)、(2)所示．对S1＝dx，令y＝≥0，则(x－1)2＋y2＝1(0≤x≤1，y≥0)由定积分几何意义知S1＝dx＝π×12＝.对于S2＝xdx，由其几何意义知S2＝×1×1＝，故[－x]dx＝