求二次函数解析式 综合题 练习+答案.doc

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1、求二次函数解析式：综合题　　　例1已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．　　分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．　　如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有　　　　　　∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有　　ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)　　∴抛物线的解析式为　　y=a(x-x1)(x-x2)(*)　　(其中x1、x2是抛物线与x轴

2、交点的横坐标)　　我们将(*)称为抛物线的两根式．　　对于本例利用两根式来解则更为方便．　　解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)　　∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x-1)　　又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1　　∴函数解析式为y=-x2＋1．　　说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：　　①三项条件确定二次函数；　　②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；　　③二次函数的解析式有三种形式：　　究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．　　　　例2由右边图象写出二次函数的解析式．　　分

3、析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．　解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．　　设解析式为y=a(x＋1)2+2　　∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．　　说明：已知顶点坐标可以设顶点式．　　本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，　　本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)·x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．　　　　例3根据下列条件求二次函数解

4、析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．　　分析：　　(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2　　解：　　(1)设y=ax2＋bx+c∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)　　∴设a=k，b=2k，c=-3k∵有最小值-8　　　　

5、　　∴解析式y=2x2+4x-6　　(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．　　　　　　　　(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y随x增大而减小　　∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n　　∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)　　　　　　说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：　　题(2)充分利用对称性可简化计算．　　　　例4已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(

6、-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．　　分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．　　解法(一)：　　∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，　　∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．　　故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2　　

7、或y=a(x+1)2-2　　又∵抛物线经过点A(-3，0)　　∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2　　　　所求函数式是　　　　　　　　　　解法(二)：　　根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c　　∵点A(-3，0)在抛物线上　　∴0=9a-3b＋c①　　又∵对称轴是x=-1　　　　∵顶点M到x轴的距离为2　　　　解由①，②，③组成的方程组：　　　　∴所求函数的解析式是：　　解法(三)：　　∵抛物线的对称轴是x=-1　　又∵图象经过点A(-3，0)　　∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)　　∴设函数式为y

8、=a(x+3)(x-1)　　把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得　　2=a(