陕西省宁强县天津高级中学2010-2011学年全国高考数学竞赛试题.doc

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1、2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A）一、填空题（本题满分64分，每小题8分）,则_____________.8.方程满足的正整数解的个数是_____________.考试时间：2010年10月17日9：40—12：10一、（本题满分40分）如图，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点.求证：若,则四点共圆.13用心爱心专心二、（本题满分40分）设是给定的正整数，.记,.证明：存在正整数,使得为一个整数.这里，表示不小于实数的最小整数，例如.三、（本题满分50分）给定整数,

2、设正实数满足,,记求证：.四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准一、填空题1..2.3..4..5..6..7..8..1.2..13用心爱心专心3.由对称性知，只需先考虑x轴上方的情况，设与双曲线右半支交于点，与直线交于点，则线段内部的整点个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为又x轴上有98个整

3、点，则所求整点个数为.4.5.13用心爱心专心6.=.7.13用心爱心专心8.13用心爱心专心二、解答题9.10.13用心爱心专心13用心爱心专心13用心爱心专心11.2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案与评分标准13用心爱心专心一、13用心爱心专心二、三、13用心爱心专心四、13用心爱心专心13用心爱心专心