北京四中2011-2012学年高二数学下学期期中测试试题 理【会员独享】.doc

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1、北京市第四中学2011-2012学年下学期高二年级期中测试数学试卷（理科）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.复数等于A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i2.等于A.6B.5C.4D.33.下列推理所得结论正确的是A.由类比得到B.由类比得到C.由类比得到D.由类比得到4.若，则的导数是A.B.c.D.5.复数，为的共轭复数，则A.－2iB.–iC.iD.2i6.已知函数，其导函数的图象如下图，则对于函数的描述正确的是8用心爱心专心A.在上为减函数

2、B.在处取得最大值C.在上为减函数D.在处取得最小值7.函数有极值的充要条件是A.B.C.D.8.函数的一个单调递增区间是A.B.C.D.9.函数图象上的点到直线的距离的最小值是A.B.C.2D.10.函数在上是增函数，则实数a的取值范围是A.B.C.D.11.函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则的值一定A.等于0B.大于0C.小于0D.小于或等于08用心爱心专心12.已知定义在R上的函数满足为的导函数。已知的图象如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在曲线的所有切线中，斜率最小的切线所对应的方

3、程为。14.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为。15.由曲线与曲线围成的平面图形的面积是。16.对大于或等于2的自然数的n次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是73，则的值为。三、解答题：本大题共2小题，共20分17.已知，且，求证：。18.已知函数。（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数a的值；8用心爱心专心（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围。卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1.下列函数中，是极值点的函数是A.B.C.D.2.对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是A.

4、B.C.D.3.是定义在上的可导函数，且满足。对任意正数，若则必有A.B.C.D.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4.若函数，则。5.设在区间上的最大值为3，最小值为－29，且，则，。6.设S为复数集C的非空子集。若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：①集合为整数，为虚数单位}是封闭集；②若S为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集。8用心爱心专心其中真命题是。（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分7.设函数在处取得极值。（Ⅰ）求与满足的关系式；（Ⅱ）求函数的单调区间。

5、8.已知函数。（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：。8用心爱心专心【试题答案】卷（Ⅰ）1—5ADCAB6—10CCADB11—12BA13.14.215.16.917.18.解：对函数求导得：2分（Ⅰ）当时，令解得或，解得，所以的单调增区间为和，的单调减区间为。5分（Ⅱ）令，即，解得或6分当时，列表得：1＋0－0＋↗极大值↘极小值↗8分对于时，因为，所以，10分对于时，由表可知函数在时取得最小值所以，当时，11分由题意，不等式对恒成立，所以得，解得13分8用心爱心专心卷（Ⅱ）1—3BDD4.－25.6.①②7.解：（Ⅰ）由题意知可知

6、；（Ⅱ）由（Ⅰ）知。令，解得或。1°.当即时，1－0＋↘极小值↗因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为。2°.当，即时，1＋0－0＋↗↘极小值↗因此的单调递增区间为，，而的单调递减区间为。3°.当，即时，的单调递增区间为。4°.当，即时，1＋0－0＋↗↘极小值↗因此的单调递增区间为，，而的单调递减区间为。8用心爱心专心8.解：（1）求函数的导数：。曲线在点处的切线方程为：，即。（2）如果有一条切线过点，则存在t，使。于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根。记，则。当变化时，的变化情况如下表：0＋0－0＋↗极大值↘极小值↗由的单调性，当极大值或极小值时

7、，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根。综上，如果过可作曲线的三条切线，即有三个相异的实数根，则即。8用心爱心专心