2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理(全国卷Ⅱ,解析版).doc

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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理(全国卷Ⅱ,解析版)一选择题:1.A.B.C.D.解:原式.故选A.2.设集合,则=A.B.C.D.解:..故选B.3.已知中,,则A.B.C.D.解:已知中,,.故选D.4.曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.解:,故切线方程为,即故选B.5.已知正四棱柱中,为中点,则异面直线与所成的角的余弦值为A.B.C.D.解:令则,连∥异面直线与所成的角即-9-与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C6.已知向量,则A.B.C.D.解:。故选C7.设,则A.B.C.D.解:.故选A.8.若将函数的图像向右平移个单位长度后,与函数

2、的图像重合,则的最小值为A.B.C.D.解:,又.故选D9.已知直线与抛物线相交于两点,为的焦点,若,则A.B.C.D.解:设抛物线的准线为直线恒过定点P.如图过分别作于,于,由,则,点B为AP的中点.连结,则,-9-点的横坐标为,故点的坐标为,故选D10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A.6种B.12种C.30种D.36种解:用间接法即可.种.故选C11.已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点,若,则的离心率为A.B.C.D.解:设双曲线的右准线为,过分别作于,于,,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角

3、为,由双曲线的第二定义有.又故选A12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“”的面的方位是A.南B.北C.西D.下解:展、折问题。易判断选B第II卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡上。13.的展开式中的系数为6。解:,只需求展开式中的含项的系数:-9-14.设等差数列的前项和为,若则9.解:为等差数列,15.设是球的半径,是的中点,过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于,则球的表面积等于.解

4、:设球半径为,圆的半径为,因为。由得.故球的表面积等于.16.已知为圆:的两条相互垂直的弦,垂足为,则四边形的面积的最大值为。解:设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)设的内角、、的对边长分别为、、,,,求。分析:由,易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得;又由,利用正弦定理进行边角互化,得,进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当时,由,进而得,矛盾,应舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。评析:本小题考生得分易,但得满分难

5、。-9-18(本小题满分12分)如图,直三棱柱中,、分别为、的中点,平面(I)证明:(II)设二面角为60°,求与平面所成的角的大小。(I)分析一:连结BE,为直三棱柱,为的中点,。又平面,(射影相等的两条斜线段相等)而平面,(相等的斜线段的射影相等)。分析二:取的中点,证四边形为平行四边形,进而证∥,,得也可。分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。(II)分析一:求与平面所成的线面角,只需求点到面的距离即可。作于,连,则,为二面角的平面角,.不妨设,则.在中,由,易得.设点到面的距离为,与平面所成的角为。利用,可求得,又可求得即与平面所成的角为分析二:作出与平

6、面所成的角再行求解。如图可证得,所以面。由分析一易知:四边形为正方形,连,并设交点为,则,为在面内的射影。。以下略。分析三:利用空间向量的方法求出面的法向量,则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。-9-总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。19(本小题满分12分)设数列的前项和为已知(I)设,证明数列是等比数列(II)求数列的通项公式。解:(I)由及,有由,...① 则当时,有.....②②-①得又,是首项,公比为2的等比数列.(II)由(I)可

7、得,   数列是首项为,公差为的等比数列.   ,评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找.第(II)问中由(I)易得,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:,主要的处理手段是两边除以.总体来说,09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列(全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法),一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。20(本小题满分12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工

8、人;乙组有

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