【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第70讲函数问题选讲(最终)教案.doc

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1、第70讲函数问题选讲本节主要内容有运用函数的有关知识解决函数自身的问题和与函数有关的方程、不等式、数列等问题。A类例题例1如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，求f(x)在该区间上的最大值．(1996年全国高中数学联赛)解由于g(x)=x+=x+x+≥3=．当且仅当x=，即x=时等号成立．由于∈[1，2]，故x=时g(x)取得最小值．因为f(x)=x2+px+q=，所以－=且=，解得p=－2，q=+．由于－1<2－．故在[1．2]上f(x)的最大值

2、为f(2)=4－+．说明本题在求g(x)的最小值时，利用了均值不等式：（），当且仅当a=b=c时等号成立。例2若函数的值域为R，则实数的取值范围是。（1994年“希望杯”全国数学邀请赛）解法一根据函数值域定义，对于任意实数，关于的方程，即恒有解，因此（*）恒成立。因为，所以（*）式成立的充要条件是，解得或。即实数的取值范围是。解法二根据对数函数和二次函数的性质，的最小值应不小于0，-13-即，解得或。即实数的取值范围是。说明解法一运用转化思想把对数函数转化为指数形式（关于的二次方程）获得解答；解法二运

3、用对数函数和二次函数的复合获得思路。例3求函数f(x)=－的最大值。(1992年全国高中数学联赛)分析两个根号内都是四次式，可以把被开开方数分别配方成平方和，从而可以把f(x)看成是到某两点的距离之差。解f(x)=－=－=－于是f(x)表示点P(x，x2)与点A(3，2)及B(0，1)距离差

4、PA

5、－

6、PB

7、。由于点P(x，x2)在抛物线y=x2上。即在抛物线上找到一点P，使

8、PA

9、－

10、PB

11、取得最大值．由三角形的两边差小于第三边知，当且仅当点P为抛物线与AB的延长线的交点时，

12、PA

13、－

14、PB

15、取得最

16、大值。由于直线AB的方程为，由方程组解得，其中点（）在AB的延长线上。

17、AB

18、=。即函数f(x)=－的最大值为。说明注意点P的存在性要加以证明。情景再现1．函数y=－的值域是。(上海市1994年高中数学竞赛)2．若不等式的解集是（4，b），则实数a=，b=。3．若对任何，不等式恒成立，则一定有（）A．B．-13-C．D．B类例题例4函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）＝1，且当x＜0时，f（x）＞1;（2）求证：f（x）在R上单调递减；

19、（3）集合A＝{（x，y）

20、f（x2）f（y2）＞f（1）}，B＝{（x，y）

21、f（ax－y＋2）＝1，a∈R）．若A∩B＝Ф，求a的取值范围．证明（1）令m＝0，n＝1，则f(1)＝f(0)f(1)．∵x>0时，00，01．因为f（x1）＝f[（x1－x2）＋x2]＝f（x1－x2）f（x2）>f（

22、x2），(∵f（x2）>0)所以f（x）为R上的减函数．（3）由f（x2）f（y2）>f（1）得f（x2＋y2）>f(1），又f（x）为R上的减函数，∴x2＋y2<1．由f（ax－y＋2）＝1得ax－y＋2＝0．∵A∩B＝φ，∴直线ax－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切或相离．故，∴．例5已知函数．（1）证明：函数的图象关于点（a，－1）成中心对称；（2）我们利用函数构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，令，，…，，…，在上述构造数列的过程中，如果（i＝2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过

23、程将继续下去；如果不在定义域中，构造数列的过程停止．　　①如果可以用上述方法构造出一个常数列，求实数a的取值范围；-13-②如果取定义域中任一值作为，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，求实数a的值．（1）证明设点P（，）是函数图象上一点，则，与点P关于（a，－1）的对称点P’（2a－x0，－2－y0），因为，，所以，即点在函数的图象上，故函数的图象关于点（a，－1）成中心对称．（2）解①根据题意，只需x≠a时，有解，即有解，即有不等于a的解．所以由得a≤－3或a≥1，而当时，。综上a≤－3或a≥1．

24、②根据题意，应满足时无解，即时无解．由于不是方程的解．所以对于任意，无解．所以a＝－1．例6求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥．(1996年全国高中数学联赛)解令sinθ+cosθ=u，则2sinθcosθ=u2－1，当θ∈[0，]时，u∈[1，]．记f(x)=(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2．则f(x)=(x+2+u2)2+(