【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第78讲数论选讲教案.doc

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1、第21讲数论试题选讲在数学竞赛中，初等数论的问题是考查的热点内容之一．它所涉及的范围主要有数的进位制、数的整除性、同余理论与不定方程．主要的定理有费马小定理和中国剩余定理．反证法是解数论问题常用的解题方法．以下请大家了解近年一些有关数论的竞赛试题和其解法。A类例题例1．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，求正整数k。（2004年全国高中数学竞赛）分析是一个正整数，即k2－pk是一个完全平方数。为了配方，考虑4(k2－pk)是一个完全平方数，从而可以得到勾股方程。解由题是一个正整数，则k2－pk是一个完全平方数，设k2－p

2、k=m2，m∈N*，则4(k2－pk)=4m2，∴(2k－p)2=p2+4m2，∴(2k－p)2－4m2=p2，∴(2k－p－2m)(2k－p+2m)=p2，(2k－p)∵(2k－p+2m)＞0，(2k－p－2m)＜(2k－p+2m)，且p是给定的奇质数，∴2k－p－2m=1且2k－p+2m=p2，∴4k－2p=1+p2，即4k=(1+p)2，由于k＞0，∴2k=1+p，k=∈N*。说明本题中，p是已知数，k是未知数，所求的是用p表示出k。借助m=列出不定方程，其中不定方程可以转化为未知数的平方差型，于是问题可解。例2．求所有的整数

3、n，使得n4+6n3+11n2+3n+31是完全平方数．（2004年中国西部数学奥林匹克）分析n是整数，对多项式n4+6n3+11n2+3n+31配方，如果恰好是一个n的多项式的平方，则所有的整数n都是解，问题就已经解决；否则对配方以后多出的部分进行估计讨论。很显然，本问题配方以后会有多出的部分。解设A＝n4+6n3+11n2+3n+31是完全平方数，则配方后A＝(n2+3n+1)2―3(n―10)是完全平方数．当n＜10时，A＜(n2+3n+1)2，所以A≤(n2+3n)2，-15-∴A―(n2+3n)2＝(n2+3n+1)2―3

4、(n―10)―(n2+3n)2≤0，即(n2+3n+1)2―(n2+3n)2≤3(n―10)，∴2n2+3n+31≤0，这不可能．当n=10时，A＝(102+3×10+1)2=1312是完全平方数。当n＜10时，A＞(n2+3n+1)2，若n≤－3，或n≥0，则n2+3n+1≥0，于是A≥(n2+3n+2)2，化简得2n2+9n－27≤0，∴－7＜≤n≤＜3，∴n=－6，－5，－4，－3，0，1，2，此时对应的A=409，166，67，40，31，52，145都不是完全平方数．若n=－2，－1，与之对应的A=37，34也都不是完全平

5、方数．所以，只有当n=10时，A是完全平方数．说明A是完全平方数，配方后(n2+3n+1)2也是完全平方数，若A等于(n2+3n+1)2，配方多出的多项式应该等于0；若A不等于(n2+3n+1)2，配方多出的多项式应该大于或小于0，但此“多余的”式子是一次的，不能反映出较多的信息，必须进一步估计范围。例3．在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，若相邻若干个数之和能被11整除，则这些数组成一个数组，这样的数组共有_________个。分析若干个数的和被11整除，只要考虑这些数模11的剩余的和被11整除即可，

6、为了计算简单，这些剩余的绝对值应该尽量的小。而相邻若干数的和，常常与数列前n项的和Sn相关。答7个。把各项先减去11的倍数，使数字变小易于计算。由此有如下数列：1，4，－3，－1，5，－3，－1，3，－3，－1。设其前n项之和为Sn，则S1＝1，S2＝5，S3＝2，S4＝1，S5＝6，S6＝3，S7＝2，S8＝5，S9＝2，S10＝1。其中相等的有S1＝S4＝S10＝1，S2＝S8＝5，S3＝S7＝S9＝2，这样有7组差S4―S1，S10―S1，S10―S4，S8―S2，S7―S3，S9―S7，S9―S3为0，即共有7组能被11整

7、除。说明数列a1，a2，……，an中，连续若干项的和ak+1+ak+2+…+am就是Sn―Sk。-15-例4．已知a、b、c为正整数，且是有理数。证明：是整数。（2004年芬兰高中数学竞赛）分析是有理数，其中隐含着正整数a、b、c的关系，找出a、b、c的关系，进一步推出a+b+c是a2+b2+c2的约数。证明因为为无理数,故,b－c≠0，于是==，上式表示有理数，则有b2－ac=0。从而a2+b2+c2=(a+b+c)2－2ab－2bc－2ca=(a+b+c)2－2(ab+bc+b2)=(a+b+c)(a－b+c).故=a－b+c∈

8、Z。说明是有理数，其分子、分母中的无理数应该可以约去，注意到a、b、c为正整数，有=即可，也即b2=ac。情景再现1．已知a、b、c、d均为正整数，且logab=，logcd=。若a－c=9，则b－d=。（2003年全国高中数学竞赛）