2020届高考数学二轮复习9 解析几何中的定值、定点和定线问题（练）（解析word版）.doc

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1、专题9解析几何中的定值、定点和定线问题1.（2017·全国高考真题（理））已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且

2、，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点（2，）2.（2016·山东高考真题（文））已知椭圆的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过动点的直线交轴与点，交于点(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点.（ⅰ）设直线的斜率分别为，证明为定值；（ⅱ）求直线的斜率的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）见解析，（ⅱ）直线AB的斜率的最小值为【解析】（Ⅰ）

3、设椭圆的半焦距为c.由题意知，所以.所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）（ⅰ）设，由M(0,m)，可得所以直线PM的斜率，直线QM的斜率.此时.所以为定值–3.（ⅱ）设.直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=–3kx+m.联立整理得.由，可得，所以.同理.所以，，所以由，可知k>0，所以，等号当且仅当时取得.此时，即，符号题意.所以直线AB的斜率的最小值为.3.（2016·北京高考真题（理））已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（Ⅰ

4、）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以.当时，，所以.综上，为定值.4．（2014·江西高考真题（文））（本小题满分13分）如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.(1)证明：动点在定直线上；(2)作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.【答案】（1）详见解析，（2）8.【解析】（1）解：依题意可设AB方程为，代入，得，即.设，则有：，直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点

5、D的坐标为，注意到及，则有，因此D点在定直线上.（2）依题设，切线的斜率存在且不等于零，设切线的方程为，代入得，即，由得，化简整理得，故切线的方程可写为，分别令得的坐标为，则，即为定值8.5．（2013·广东高考真题（理））已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3)当点在直线上移动时，求的最小值．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)【解析】（1）依题意，设拋物线的方程为，由结合，解得，所以拋物线的方程为.（2）拋物线的方程为，即，求导得，设(其中)则切线的

6、斜率分别为，所以切线的方程为，即，即，同理可得切线的方程为，因为切线均过点，所以，，所以为方程的两组解，所以直线的方程为.（3）由拋物线定义可知，联立方程，消去整理得.由一元二次方程根与系数的关系可得，所以又点在直线上，所以，所以，所以当时，取得最小值,且取得最小值为.练方法1.（2018·陕西高考模拟（理））已知抛物线C；过点．求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】（1）．（2）见解析．【解析】（1）由题意得，所以抛物线方程为．（2）设，，直线MN的方程为，代入抛物线方程得．所

7、以，，．所以,所以，是定值．2．（2019·福建高考模拟（理））已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．为椭圆上关于原点对称的两点．直线与直线的斜率满足：．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）设则由得，由，即得，所以，所以即椭圆的标准方程为：（2）设由得：又与圆C相切，所以即所以所以，，即所以，以线段为直径的圆经过原点.3.（2018届陕西省咸阳市5月信息专递）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设