高中数学竞赛讲义-数学方法选讲（练习）（1）新人教A版.doc

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1、课后练习1.方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn一定有一个自然数解吗？为什么？2.连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？3.给出一个自然数n，n的约数的个数用一个记号A（n）来表示。例如当n=6时，因为6的约数有1，2，3，6四个，所以A（6）=4。已知a1，a2，…，a10是10个互不相同的质数，又x为a1，a2，…，a10的积，求A（x）。4.平面上有100个点，无三点共线。将某些点用线段连结起来，但线段不能相交，直到不能再连结时为止。问：是否存在

2、一个以这些点中的三个点为顶点的三角形，它的内部没有其余97个点中的任何一个点？5.在一块平地上站着5个小朋友，每两个小朋友之间的距离都不相同，每个小朋友手上都拿着一把水枪。当发出射击的命令后，每人用枪射击距离他最近的人。问：射击后有没有一个小朋友身上是干的？为什么？6.把1600粒花生分给100只猴子，请你说明不管怎样分，至少有4只猴子分的花生一样多。7.有两只桶和一只空杯子。甲桶装的是牛奶，乙桶装的是酒精（未满）。现在从甲桶取一满杯奶倒入乙桶，然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶，这时，是甲桶中的酒精多，还是乙桶中的牛奶多？为什么？　　8.在黑板上写上1，2，3，…，1

3、998。按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？-3-课后练习答案　　1.有。　　解：当n=2时，方程x1+x2=x1x2有一个自然数解：x1=2，x2=2；　　当n=3时，方程x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解：x1=1，x2=2，x3=3；　　当n=4时，方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解：x1=1，x2=1，x3=2，x4=4。　　一般地，方程　　x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn有一个自

4、然数解：x1=1，x2=1，…，xn-2=1，xn-1=2，xn=n。　　2.3508。　　解：仿例3。当有3n个数时，留下的数是1号。　　小于8899的形如3n的数是38=6561，故从1号开始按规则划数，划了8899-6561=2338（个）数后，还剩下6561个数。下一个要划掉的数是2388÷2×3+1=3507，故最后留下的就是3508。　　3.1024。　　解：质数a1有2个约数：1和a，从而A（a1）=2；　　2个质数a1，a2的积有4个约数：1，a1，a2，a1a2，从而　　A（a1×a2）=4=22；　　3个质数a1，a2，a3的积有8个约数：　　1，

5、a1，a2，a3，a1a2，a2a3，a3a1，a1a2a3，　　从而A（a1×a2×a3）=8=23；　　……　　于是，10个质数a1，a2，…，a10的积的约数个数为-3-　　A（x）=210=1024。　　4.存在。　　提示：如果一个三角形内还有别的点，那么这个点与三角形的三个顶点还能连结，与已“不能再连结”矛盾。　　5.有。　　解：设A和B两人是距离最近的两个小朋友，显然他们应该互射。此时如果有其他的小朋友射向他们中的一个，即A，B中有一人挨了两枪，那么其他三人中必然有一人身上是干的。如果没有其他的小朋友射向A或B，那么我们再考虑剩下的三个人D，E，F：若D，

6、E的距离是三人中最近的，则D，E互射，而F必然射向他们之间的一个，此时F身上是干的。　　6.假设没有4只猴子分的花生一样多，那么至多3只猴子分的花生一样多。我们从所需花生最少情况出发考虑：　　得1粒、2粒、3粒……32粒的猴子各有3只，得33粒花生的猴子有1只，于是100只猴子最少需要分得花生　　3×（0+1+2+…+32）+33=1617（粒），　　现在只有1600粒花生，无法使得至多3只猴子分的花生一样多，故至少有4只猴子分的花生一样多。　　7.一样多。　　提示：从整体看，甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。甲桶里有多少酒精，就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶。

7、所以，甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多。　　8.奇数。　　解：黑板上开始时所有数的和为　　S=1+2+3+…+1998=1997001，　　是一个奇数，而每一次“操作”，将（a+b）变成了（a-b），实际上减少了2b，即减少了一个偶数。因为从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，所以最后黑板上剩下一个奇数。-3-