利用倒数求函数单调性.ppt

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1、3.7函数单调性的概念一，我们在函数的基本性质中曾经讨论过函数的单调性问题，在此我们再次回顾一下函数单调的定义。定义设函数f(x)在区间（a，b）上有定义，如果对于区间（a，b）内的任意两点x1，x2，满足（1）当x1f(x2),则称函数f(x)在开区间（a，b）内单调减；1.一般情况下，单调增函数的图形是一条沿x轴正向逐渐上升的曲线。单调减函数的图形是一条沿x轴正向逐渐下降的曲线。2.如果函数在其定义域内的某些子区间上是单调增的，而在另

2、一些子区间上是单调减的，则称函数为分段单调函数。例.求y=f(x)=X2-4X+3的增区间和减区间？方法一。此函数为二次函数，画出其图象，找出对称轴，x=2,可知，当x>2时，为增函数；当x<2时为减函数。所以其增区间为(2,+),其减区间为(-，2)方法二，考虑到y=f(x)=X2-4X+3曲线的切线的斜率就是函数的导数，由图象可以看到：在(2,+)区间内，切线的斜率为正，即f(x)〉0，y=f(x)为增函数；在(-，2)区间内，切线的斜率为负，即f(x)〈0，y=f(x)为增函数。设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f(x)〉0，则f(

3、x)为增函数；如果f(x)〈0，则f(x)为增函数，如果在某个区间内恒有f(x)=0，f(x)则为常数例1求f(x)=X2-2X+4的增区间和减区间？解：f(x)=2x-2令2x-2>0,解的x>1，因此，当x（1,+）时，是增函数再令2x-2<0,解的x<1，因此，当x（-，1）时，是函减数如图例2确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间。解：该函数的定义域为（-，），由于f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)当x（-，1)时，有f(x)>0，所以，函数f(x)在这个区间内为单调增加。当x(1，

4、2)时，有f(x)<0，所以，函数f(x)在该区间内为单调减少。当x（2，）时，有f(x)0，所以，函数f(x)在这个区间内为单调增加。例3证明方程sinx=x只有一个实根。证明：令f(x)=sinx-x，则f(x)=cosx-10,且仅在点x=2n时，有f(x)=0。从而，当x（-，）时，函数f(x)为严格单调减少。又由于在x-时,f(x)+;而在x+时,f(x)-。因此，函数f(x)有且仅有一个零点。即证明了方程sinx=x只有一个实根。它就是x=0。