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《函数的最大值与最小值课件新课标人教A版数学选修.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、函数的最大值与最小值一、复习与引入1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:①如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.二、新课——函数的最值xX2oaX3bx1y观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.发现图中____________是极小值，________
2、_是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？1、最值的概念(最大值与最小值)如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值；最值是相对函数定义域整体而言的.如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值.2.注意(1)函数的极值是在局部范
3、围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值.最大值一定比最小值大，极大值不一定比极小值大(3)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.例1、函数y=x³-2x²+5在[-2,2]上的最大值与最小值.分析:(1)由f´(x)=3x²-4x,f´(x)=0(2)区间［-2,2］端点处的函数值为f
4、(-2)=-11,f(2)=5得x1=0，x2=函数值为f(0)=5,f()=当x变化时，y′、y的变化情况如下表：比较以上各函数值，可知函数在［－2,2］上的最大值为f(2)=5，最小值为f(-2)=-11导数的应用-----求函数最值.(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)例2、在边长为48cm的正方形铁皮的四角各切去一个大小相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，截去的正
5、方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:练习:最大值f(－1)=3，最小值f(3)=－612、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;(2)确定函数定义域，并求出极值点;(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点.1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来:首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解.三、应用2、若函数f(x)在定
6、义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义四、小结1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.2.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最
7、大值与最小值.(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较.3.应用问题要引起重视.(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、不等式的证明及解法中有广泛的作用。(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很有用.
