【课堂新坐标】2020届高三文科数学 通用版二轮复习 第1部分 专题4 突破点9　空间几何体表面积或体积的求解 含解析.doc

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1、专题四　立体几何建知识网络　明内在联系扫一扫，各专题近五年全国考点分布高考点拨]　立体几何专题是高考中当仁不让的热点之一，常以“两小一大”呈现，小题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)内容，一大题常考空间几何体位置关系的证明与空间角、距离的探求．本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解”、“空间中的平行与垂直关系”两大角度进行典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能．突破点9　空间几何体表面积或体积的求解提炼1　求解几何体的表面积或体积　(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．(2)对于不规则几何

2、体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用．提炼2　球与几何体的外接与内切　(1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径r＝a，外接球的半径R＝a.图101(2)正方体与球：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，J为HF的中点，如图101所示

3、．①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，故其内切球的半径为OJ＝；②正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG的外接圆，故其棱切球的半径为OG＝；③正方体的外接球：截面图为矩形ACC1A1的外接圆，故其外接球的半径为OA1＝.回访1　几何体的表面积或体积1.(2016·全国甲卷)如图102是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)图102A．20π　　　　　　B.24πC.28πD.32πC　由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积

4、为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为2，所以圆锥的母线长为＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.]2．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图103，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)图103A.　　　　　　　B.C.　　　　　　　D.D　由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，剩余部分的体积V

5、2＝13－＝.所以＝＝，故选D.]3．(2014·全国卷Ⅱ)如图104，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)图104A.　　B.C.　　D.C　由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm，底面半径为2cm，右面圆柱的高为2cm，底面半径为3cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π

6、×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为＝.]回访2　球与几何体的外接与内切4．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A．36πB.64πC.144πD.256πC　如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2.∵VOABC＝VCAOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为×R2×R＝36，∴

7、R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.]5．(2013·全国卷Ⅰ)如图105，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)图105A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3A　如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝π×53＝π(cm3)．]6．(2012·

8、全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)A.B.C.D.A　由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体