人教版-高中数学选修1-1-第三章 3.3.1 函数的单调性与导数.ppt

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1、函数的单调性与导数复习1、某点处导数的定义——这一点处的导数即为这一点处切线的斜率2、某点处导数的几何意义——3、导函数的定义——4、由定义求导数的步骤（三步法）5、求导的公式与法则——如果函数f(x)、g(x)有导数，那么6、求导的方法——定义法公式法引例、已知函数y=2x3-6x2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.（1）任取x1

2、也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即在（a，b）内的每一点处的导数值为正若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，分析：从图形看1)如果恒有f(x)>0，那么y＝f(x)在这个区间(a,b)内单调递增；2)如果恒有f(x)<0，那么y＝f(x)在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f(x)在某个区间(a,b)内

3、定理如果在某个区间内恒有,则为常数.′′二.例题：1.设f´(x)是函数f(x)的导函数，y=f´(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo12ABCD2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间。利用导数判断函数单调性的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求f´(x);(3)在f(x)的定义域内解不等式f´(x)>0和f´(x)<0;(4)确定函数f(x)的单调区间。注、单调区间不以“并集”出现。3：设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a≥-1

4、，求f(x)的单调区间。变式1：已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在区间(0,1)上是增函数，求实数a的取值范围。变式2：已知x>1，求证：x>ln(x+1).小结：根据导数确定函数的单调性1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f(x)>0,得函数单增区间;解不等式f(x)<0,得函数单减区间.′′引例：你能确定y=2x3-6x2+7的大致图象吗?一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如

5、果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。极大值与极小值统称为极值.函数极值的定义——如果x0是f/(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f/(x)<0，在x0右侧附近f/(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.导数的应用二、求函数的极值如果x0是f/(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f/(x)>0，在x0右侧附近f/(x)<0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值例1、求函数极值.注、极值点是导数值为0的点的横坐标能化出草图吗?练:(1)y=(

6、x2-1)3+1(2)y=-2x2+5x(3)y=x3-27x(4)y=3x2-x3用导数法求解函数极值：(1)求导函数f/(x)；(2)求解方程f/(x)=0,得出的根称为可能极值点；(3)检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.一般通过列表获得．(4)结论用导数法求解函数极值的步骤：练习：1，2，3，导数的应用之三、求函数最值.在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、

7、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)表格法例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为2，最大值为11，最小值为2法二、解、f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112思考、1.已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值2.已知P为

8、抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离分析点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a=-1.3.已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区