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1、§１.5全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式引入五、贝叶斯公式及其应用二、全概率公式与证明(现行教材)四、全概率公式应用下页三、改进型全概率公式及其推导一、全概率公式问题引入引例1.设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个红球的概率.引例2.设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱，且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任取1箱，再从该箱中任取1件产品，求取得次品的概率.小结：诸如此类的概率
2、都是比较难求的.给人的感觉是，问题太复杂，不知该从哪里下手.问题：那么，复杂的问题能否简单化呢？这就是全概率公式的意义所在.下页§１.5全概率公式与贝叶斯公式全概率公式设试验E的样本空间为Ω，设事件B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分，且P(Bi)>0,i=1,2,…，n．则对任意事件A，有B1B2B3Bn…ΩA证明：因为按概率的可加性及乘法公式有故二、全概率公式与证明(现行教科书证明)下页三个特点：①没错;②难用;③误导.附：全概率公式面临的尴尬例1.设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球
3、2个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个红球的概率.解：(传统解法)设B1={从甲袋取出2个红球}，B2={从甲袋取出2个白球},B3={从甲袋取出1个白球1个红球},A={从乙袋取出2个红球}.因为B1,B2,B3两两互斥,且B1∪B2∪B3=Ω,所以它们是试验E样本空间的一个划分；A是试验E样的一个事件，所以由全概率公式得下页问题：B1,B2,B3是试验E样本空间的一个划分吗？×改进型全概率公式设试验E是由两个试验E1,E2复合而成的复合试验.E1是先行试验,其
4、样本空间为Ω1，B1,B2,…,Bn为Ω1的一个划分,即B1∪B2∪…∪Bn=Ω1；E2是后继试验，即在E１发生的条件下的试验,其样本空间为Ω2.那么,对于E2的任一事件A，有三、(改进型)全概率公式及其推导推导：E2的P(A)实质上是P(A/E1)-关键1,下页由条件概率公式得，从而得，亦即P(A/E1)=P(A/Ω1)-关键2.即P(A)=P(A/E1),引例1.设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个红球的概率.E1:B
5、1={从甲袋取出2个红球}，B2={从甲袋取出2个白球},B3={从甲袋取出1个白球1个红球},Ω1=B1∪B2∪B3.E2:A={从乙袋取出2个红球}.即全条件下的概率,这就是全概率的含义.①E1发生就意味着B1,B2,B3之一发生；②由于它们互不相容，它们之一发生可表示为B1∪B2∪B3；③而实际上B1∪B2∪B3=Ω1.四、全概率公式应用例1.设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个红球的概率.解：设B1={从甲袋取出2
6、个红球}，B2={从甲袋取出2个白球},B3={从甲袋取出1个白球1个红球},A={从乙袋取出2个红球}.显然，B1,B2,B3两两互斥,是对从甲袋中取球试验E1样本空间的一个划分,A是从乙袋中取球试验E2的一个事件,所以由全概率公式得下页解题步骤：①指出E1样本空间Ω1的一个划分；②指出E2中的事件A；③运用全概率公式.例2.设某人按如下原则决定某日的活动：如该天下雨则以0.2的概率外出购物，以0.8的概率去探访朋友；如该天不下雨，则以0.9的概率外出购物，以0.1的概率去探访朋友，设某地下雨的概
7、率是0.3．试求那天他外出购物的概率．解：令B1={该天下雨}，B2={该天不下雨}，A={某人外出购物}．显然B1，B2为对该日天气观察(先行)试验样本空间的一个划分，由全概率公式得下页问题：A=A(B1∪B2)有意义吗？例3.某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0,求他迟到的概率．解：设B1＝{乘火车来}，B2＝{乘轮船来}，B3＝{乘汽车来}，B4＝{乘飞机来}，A＝{迟到}.易见,B1,B2,B3,B４,是
8、对选择交通工具(先行)试验样本空间的一个划分，由全概率公式得=0.3×0.25＋0.２×0.3＋0.１×0.1＋0.4×0=0.145.下页解题要点：一般情况下，给出主要步骤即可.例4.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？解：令Bi={零件为第i台机床加工的}(i=1,2)，A={取到的零件为合格品}.此时，把取哪台机床生产的产
