电子科技大学2003级硕士研究生《矩阵理论》试题.pdf

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1、电子科技大学2003级硕士研究生《矩阵理论》试题一、判断题（40分）（对者打∨，错者打×）n1、设xC,U∈为n阶酉矩阵，则

2、

3、Ux

4、

5、

6、

7、

8、

9、=x.()2222HHH

10、

11、Ux

12、

13、22=(UxUx)=xUUx=xx

14、

15、x

16、

17、=nnn×222、设AC∈,则

18、

19、A

20、

21、mi≥∑

22、λ

23、.()2i=1nnn×H2H2222AC∈→AURU=→

24、

25、A

26、

27、m2=

28、

29、URU

30、

31、mmm22=

32、

33、R

34、

35、≥

36、

37、R

38、

39、2=∑

40、

41、λii=1Tn23、如果xxx=(,,,)x∈C，则

42、

43、

44、

45、

46、xx=

47、为向量范数.()12n1例如x=(0,1,0,,0)≠0，但

48、

49、

50、

51、0x=4、

52、

53、

54、

55、

56、x≤≤

57、

58、

59、

60、xnx

61、

62、

63、

64、.()∞∞1n

65、

66、

67、

68、x∞∞=≤=max

69、xii

70、∑

71、x

72、

73、

74、

75、

76、xn1≤max

77、xnxi

78、=

79、

80、

81、

82、iii=1++5、设A为n阶酉矩阵，则AA=AA=E.()+H因为AA=，故结论成立mr×−−11HH6、若AC∈，则A=()AAA.()rL−−11HHA=()AAA，故结论不成立L−−117、若

83、

84、

85、

86、⋅为算子范数，则

87、

88、AA

89、

90、≥

91、

92、

93、

94、.()−−111

95、

96、=AA

97、

98、

99、

100、≤A

101、

102、

103、

104、A

105、

106、，故结论不成立1iiiT8、和都是复对称矩阵()AA=，故均为正规矩阵.()ii111iiiiiii

107、−−−−iiii为正规矩阵而非正规,因为≠ii11ii11−−ii119、设ρ()A为矩阵A的谱半径，则ρ()

108、

109、AA≤

110、

111、.()m∞01AAA=,则而

112、

113、

114、

115、=1,ρ()1.618=m∞11H10、设

116、

117、

118、

119、⋅=为自相容矩阵范数，则

120、

121、

122、

123、

124、

125、xxa

126、

127、是与

128、

129、

130、

131、⋅相容的向量范数mmm()2二、设A是幂等矩阵()AA=，但AE≠，证明A不是严格对角占优矩阵.（10分）证：如果A是严格对角占优矩阵→A可逆→AE=，矛盾nn×T三、设AaC=()ij∈,λ是Ba=(

132、ij

133、)的特征值，且存在

134、向量xxx=(,1,ni)(∀>x0)−1使得Bx=λx，记D=diagxx(,,,)x.证明DBD的每个Gerschgorin圆都经12n过λ.（10分）证：1x1

135、

136、

137、

138、aa

139、

140、ax11121n11−1

141、

142、

143、

144、aa2122

145、

146、a2nx2DBD=x2

147、

148、

149、

150、aan12n

151、

152、annxn1xn

153、

154、

155、

156、aa1112

157、

158、a1n

159、

160、ax122

161、

162、ax1nn

163、

164、a11xxxxx111x111

165、

166、

167、

168、aa

169、

170、a

171、

172、

173、ax

174、

175、ax21222n2112nnx2

176、

177、a22=xx22x2=xx22xn

178、

179、

180、

181、aa

182、

183、a

184、

185、

186、

187、axaxn12nnnnn1122

188、

189、axxxxxnnnnnnnn−11→DBD的每个Gerschgorin圆为SzCzaRi=∈−≤{:

190、

191、ii

192、

193、i},Ri=∑

194、

195、axijj,xij=1ji≠n1又Bx=λx→

196、λ−=

197、aii

198、

199、∑(

200、axRiij

201、j)==i1,2,,n，所以结论成立.xij=1ji≠nH四、如果A为正规矩阵，且对所有xC∈，有xAx≤0，那

202、么A的所有特征值非正.如果有trA()0=，那么A=0.（10分）HH证：A为正规矩阵→AUdiag=(,,,)λλλU→diag(,,,)λλλ=UAU12n12nH→λ=uAu≤0;又因为trA()=+++=λλλ0→λ=0→A=0iii12ni101+五、求A=−−111的最大秩分解，并求A.（10分）111−10101H32−H20解：A=BD=−11，BB=，DD=010−220111−0.50.5−0.5H−111H−10.50+()BB=，()DD=

203、，A=0.51−111.5010.50.5−0.546010六、求矩阵A=−−350的谱分解，并计算A.（10分）−−361−−1201202−1解：

204、λEA−=+

205、(λλ2)(−1)，P=110，P=−−110，101−−121−1−−120−20220−−110A1=1120[]=120，A2=10−−=−−110121112001−−121−−10222046010AAA=−+