正弦定理和余弦定理复习课件.ppt

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1、3.7 正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝________________，b2＝________________，c2＝____________________．b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC【思考探究】在△ABC中,sinA＞sinB是A＞B的什么条件?提示：充要条件.因为sinA＞sinB3.（2014·天津联考)在钝角△ABC中，已知AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积是（)A.B.C.D.【解析】由正弦定理得即，sinC＝.则C

2、＝60°或120°，C＝60°时，△ABC为直角三角形（舍去)；C＝120°时，A＝30°所以S＝×1×3×sin30°＝【答案】B4.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为三角形.【解析】由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin（B＋C)＝sin2A，所以sinA＝1，由0

3、个基本量中若干个未知的量（或判断出这样的三角形不存在）.由于任意三角形中，都能由正弦定理、余弦定理和内角和定理得到相应的三个等式，从而可以看成已有关于六个基本量的三个方程，因此，当已知一个三角形中的任意三个基本量（必含一条边）或有关这样的三个量的三个独立条件时，从解方程组的角度分析，这个三角形就是可解三角形.2.可解三角形的基本类型（1）利用正弦定理可解以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角.（2）利用余弦定理可解两类三角形:一是已知两边和它们的夹角,求其他边角;二是已知三边求其他边角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的,所以其解也是

4、唯一的.（1)（2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝，B＝45°，求sinC.（2）在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.【解析】（1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－＝25，即b＝5所以sinC＝（2）由正弦定理得∴sinA＝.∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状1.三角形形状的判断方向从三角形的边角关系考虑：是否锐角三角形、直角三角形、

5、钝角三角形；是否等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.2.常用判断方法（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=π这个结论.（1）（2014·山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，试判断△ABC的形状.（2）在△ABC中，若（a2＋b2)sin（A－B)＝（a2－b2)·sin（A＋B)，试判断△ABC的形

6、状.【解析】（1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－所以cosC＝＝＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形.（2）∵（a2＋b2)sin（A－B)＝（a2－b2)sin（A＋B)，∴b2［sin（A＋B)＋sin（A－B)］＝a2［sin（A＋B)－sin（A－B)］，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.方法一由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝

7、sin2B.在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二由正弦定理、余弦定理得：a2b＝b2a∴a2（b2＋c2－a2)＝b2（a2＋c2－b2)，∴（a2－b2)（a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰或直角三角形.与三角形面积有关的问题【变式训练】3.在△ABC中，