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《大学数学竞赛第一单元函数、极限、连续.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一单元 函数、极限、连续1理学院1.1函数一、有关函数的四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)例1求解是奇函数，是奇函数，因此是奇函数。于是解(B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。A证明为奇函数，二、有关复合函数解即分析函数D(x)的函数值是有理数1或0，所以1解令则因此于是所以1.2极限一、数列与函数极限的存在准则(1)夹逼准则；(2)单调有界收敛准则分析给定数列的奇数项子列单调增加有上界，偶数项子列单调减少有下界，因此两子列均收敛.对于这种数列仍可应用单调有界准则.解首先易见又计算可得所以两子列均收敛，然后由递推式两端取极
2、限得由此得到解因为二、幂指函数的极限解令则因此根据命题1.4可得故原式=1.三、用洛必达法则与泰勒展开式计算极限应用洛必达法则之前应注意:(2)通过分解、变量的等价替换、析出可成为常数的变量等整理和化简,以便于计算导数;(3)可重复上述步骤.应用泰勒展开式时需注意分子与分母展开的阶数为各自主部的阶数.例1设函数f(x)有连续的二阶导数，且解因因此利用命题1.3的结论有解用sin6x的泰勒展开式,知应选：C.C注由于f(x)无可微条件,此题不能用洛必达法则.例3求解例4求解原式=解原式=(应用洛必达法则)(应用洛必达法则)(用积分中值定理:ξ在0和x之间)四、无
3、穷小、无穷大量阶的比较(1)当正整数n→∞时,以下各无穷大数列的阶由低到高排列为:(2)当实数x→+∞时，以下各无穷大量的阶由低到高排列为：(3)当x→0时，下列各无穷小量(A)1(B)2(C)3(D)4例1设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比高阶的无穷小，则正整数n等于()B例2设则当x→0时，是的().(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小解C五、有关两个重要公式(1)(2)例1求解当x=0时，原式=1.当x≠0时，原式解则拉格朗日中值定理，有其中ξ介于(x-1)与
4、x之间，那么于是则2c=1，e2c=e,即解例3求注：2009年全国决赛试题有类似题目六、求分段函数的极限例1求解七、用导数定义求极限解由题设可知于是解原式令于是原式=→0(n→∞)所以原式=八、用定积分定义求极限公式：(函数f(x)连续)例1求分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑而由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。解例2求解因为而夹逼定理例3求解原式=数列极限普通方法难有成效时，可考虑转化为定积分九、求极限的反问题解由题设可知1+a+b=0再对极限用洛必达法则因此例1设，求a和b.解先用冪指函数处理方法再用导数定义取于是因此所以再由则例
5、3设函数当x→0时的极限存在,求a的值.解例4设函数为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a,b应取什么值？解因为所以要使函数在x=1处连续,必须a+b=1.又因为当a+b=1时所以要使函数在x=1处可导,必须a=2,此时b=−1.十.曲线的渐近线1.水平渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线2.垂直渐近线3.斜渐近线斜渐近线若例1曲线渐近线的条数为解曲线有渐近线x=0,y=0,y=x.(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.故正确答案为D.1.3连续1、讨论具体函数或抽象函数的连续与间断。包括由连续性确定其中的参数，证明函数的连续性.2、由函数的连
6、续性讨论它的某些特性，如有界、零点、介值等.一、问题分类：二、填空题三、计算及证明1.4综合习题讲解一、填空题解可得所以a=2.解所以所以解f[f(x)]=1.解原式解所以k－1=1990,即k=1991;解二、计算题1.求下列极限解2.求下列极限按照等价无穷小代换解方法1：方法2：Taylor展开(3)解(4)解所以解又因为(5)三、证明题例1设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)b,试证在(a,b)内至少存在一个,使f()=.证假设F(x)=f(x)－x,F(a)=f(a)－a<0,F(b)=f(b)－b>0则于是由介值定理在(a,
7、b)内至少存在一个,使f()=.例2设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且f(a)g(b),试证在(a,b)内至少存在一个,使f()=g().证假设F(x)=f(x)－g(x),则F(a)=f(a)－g(a)<0,F(b)=f(b)－g(b)>0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个,使f()=g().例3证明方程x5－3x－2=0在(1,2)内至少有一个实根.证令F(x)=x5－3x－2,则F(1)=－4<0,F(2)=24>0所以在(1,2)内至少有一个,满足F()=0.所以存在(a8、，使得证令所以例4设f(x)在[a,b
