中考冲刺数学专题新概念型问题

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1、2011中考冲刺数学专题8——新概念型问题【备考点睛】新概念型是近几年中考的热点问题，试题的特点在学生已学数学知识的基础上，对旧知识进行重新包装，给出一个“新概念”，然后要求学生学习和运用这个“新概念”来解决相应的数学问题，这类试题对培养学生的阅读理解能力和独立获取新知识、解决新问题的能力有非常重要的作用．面对一个新概念，阅读时至关重要的是用自己的语言来理解它，并把它与熟悉的相关数学知识相挂靠，把一个全新的问题化为熟悉的问题去处理．这类试题能很好地考查学生的数学阅读理解能力、数学抽象概括能力和对“新概念”的实际应用能力。【经典例题】例题1。定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另

2、一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．图2FEDCBAPGHJI图1BJIHGDCAP（1）如图2，与的角平分线相交于点．求证：点是四边形的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）图4图3（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若是任意凸四边形的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．()解答：解析：在理解新新概念——准内点的同时，结合已学角的平分

3、线的性质与判定——角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。当两组对边不平行时，如图1中的点P是直线AD与BC的夹角平分线、直线AB与DC的夹角平分线的交点，当两组对边平行时利用全等三角形等方法构造。详解：（1）如图2，过点作，∵平分，∴．　　同理．∴是四边形的准内点．图3（1）图4图3（2）（2）　　平行四边形对角线AC、BD的交点就是准内点，如图3（1）.或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点．如图4.（3）真；真；假．例题2。（2010湖南益阳）我们把对称中心重合

4、，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小明在探究线段与的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.解答：⑴解:在方形环中，∵∥∴∴△≌△∴　　　　　　⑵解法一：

5、∵　　　∴∽∴∵∴（或）①当时，tan=1,则②当时，则（或）　　解法二：在方形环中，又∵∴∥∴在与中，即（或）　　①当时，②当时，则（或）　　　　例题3。阅读材料：如图1-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图1-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在

6、第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解答：解析：（1）材料中给出了一个基本图形和计算三角形面积的新方法，在解决问题中一定要运用新方法，切不可只用教材中的计算方法，否则问题就很难求解。（2）理解材料是解决问题的关键，在运用公式时注意结合图形理解水平宽与铅垂高的含义，能指出△CAB的铅垂高为CD与水平宽为OA，△PAB的水平宽仍为OA，铅垂高为点P的纵坐标与点B的纵坐标的差。详解：(1)设抛物线的解析式为：，把A（3,0）代入解析式求得

7、所以设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为把，代入中解得：所以(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则由S△PAB=S△CAB得：化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为。点评：在坐标系中求几何量，注意点的横、纵坐标与线段长度的关联。例题4。（2010浙江台州）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3