2019届高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.2 函数的单调性与最大(小)值学案 文 北师大版.doc

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1、§2.2　函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1

2、时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间．2．函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M(3)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(4)对于任意x∈D，都有f(x)≥M结论M为最大值M为最小值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f

3、(x)在D上是增加的，<0⇔f(x)在D上是减少的．(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，递减区间为[－，0)和(0，]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)

4、是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞)．(　×　)(3)函数y＝的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　√　)题组二　教材改编2．函数f(x)＝x2－2x的递增区间是____________．答案　[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y＝在[2,3]上的最大值是________．答案　24．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．答案　(－∞，2]解析　由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m

5、≤2.题组三　易错自纠5．函数y＝(x2－4)的递减区间为________．答案　(2，＋∞)6．若函数f(x)＝

6、2x＋a

7、的递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．答案　－6解析　由图像(图略)易知函数f(x)＝

8、2x＋a

9、的递增区间是，令－＝3，得a＝－6.7．函数f(x)＝的最大值为________．答案　2解析　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为

10、2.题型一　确定函数的单调性(区间)命题点1　给出具体解析式的函数的单调性典例(1)函数y＝(2x2－3x＋1)的递减区间为(　　)A．(1，＋∞)B.C.D.答案　A解析　由2x2－3x＋1>0，得函数的定义域为∪(1，＋∞)．令t＝2x2－3x＋1，则y＝t，∵t＝2x2－3x＋1＝22－，∴t＝2x2－3x＋1的递增区间为(1，＋∞)．又y＝t在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y＝(2x2－3x＋1)的递减区间为(1，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2

11、x

12、＋3的递减区间是__________________．答案　

13、[－1,0]，[1，＋∞)解析　由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图像如图．由图像可知，函数y＝－x2＋2

14、x

15、＋3的递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2　解析式含参数的函数的单调性典例判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性．解　函数f(x)＝ax2＋(1

16、＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.又因为1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上是增加的．引申探究如何用导数法求解本例？解　因为f′(x)＝2ax－＝，