2018年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列学案 苏教版选修5.doc

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1、2.2　第一课时　等差数列的概念及通项公式预习课本P35～39，思考并完成以下问题(1)等差数列的定义是什么？(2)等差数列的通项公式怎样表示？(3)如何判定一个数列是等差数列？1．等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．[点睛]　(1)“从第二项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．

2、(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.定义通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)[点睛]　由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．1．下列数列是等差数列的是________(填序号)．①5,5,5,5,5；②3,

3、7,11,15,19；③－2，－1,0,2,4,6.解析：①所给数列是首项为5，公差为0的等差数列．②所给数列是首项为3，公差为4的等差数列．③因为0－(－1)≠2－0，所以这个数列不是等差数列．综上，①②为等差数列．答案：①②2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式为________．解析：∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.答案：an＝6－2n3．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则实数a的值为________．解析：由题意知：a＋1－(a－1)＝2a＋3－(

4、a＋1)，即2＝a＋2，∴a＝0.答案：04．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．解析：由已知a－(－1)＝b－a＝8－b＝d，∴8－(－1)＝3d，∴d＝3.答案：3等差数列的通项公式及应用[典例]　在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.[解]　(1)∵a5＝－1，a8＝2，∴解得(2)设数列{an}的公差为d.由已知得，解得∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.在等差数列{an}中，首项a1与公差d

5、是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．[活学活用]1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝________.解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意得由此解得所以a10＝a1＋9d＝18.答案：182．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由已知解得所以an＝－23＋(n－1)

6、×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项.等差数列的判定与证明[典例]　已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列；[证明]　∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝，又∵b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．要判定或证明一个数列{an}是等差数列，主要是利用等差数列的通项公式，证明an＋1－an＝d(常数)．　[活学活用]判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中an＝3n＋2；(2)在数列{an}中an＝n2＋n.

7、解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列.等差数列通项公式的综合应用题点一：求通项公式中的未知项1．在等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d≠0，若7ak＝a1＋a2＋…＋a7，则k＝________.解析：因为a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋21d＝7＋21d，而ak＝1＋(k－1)d，所以7ak＝7＋7(k－1)d，所以7＋7(k－1)d＝7＋21d，即k＝4.答案：

8、4题点二：求通项公式中公差的范围2．在等差数列{an}中，首项a1＝1，且从第10项起开始比2大，则公差d的取值范围为________．解析：由an＝