2017-2018版高中数学第二章解析几何初步2.2圆的一般方程学案北师大版必修2.doc

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1、2．2　圆的一般方程学习目标　1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.3.初步体会圆的方程的实际应用．知识点　圆的一般方程思考1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？　　思考2　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？　　　梳理　圆的一般方程方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点(－，－)D2＋E2－4F>0表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆D2＋E2－4F<0不表示任何图形类型一　圆的一般方

2、程的概念例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．　　　　反思与感悟　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1　(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为____________，半径为_

3、___________．(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．类型二　求圆的一般方程例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．引申探究若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？　　　　　　　　　反思与感悟　应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用

4、待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2　已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．　　　　　类型三　圆的方程的实际应用例3　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度．(精确到0.01m)　　　　　　反思与感悟　在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮

5、助．跟踪训练3　如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为多少？　　　　　　1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(　　)A．8πB．4πC．2πD．π2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(　　)A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝03．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　)A．m≤2B．m＜C．m＜2D．m≤4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，

6、则a，b，c的值依次为(　　)A．－2,4,4B．－2，－4,4C．2，－4,4D．2，－4，－45．已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程．　　　　　　　　　　　　1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．2．待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.答案精析问题导学知识点思考1　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1

7、)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．思考2　对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得(x＋)2＋(y＋)2＝.①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示的是以(－，－)为圆心，为半径的圆；②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有一个实数解x＝－，y＝－，它表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．