2017-2018版高中数学 第二章 解析几何初步 疑难规律方法学案 北师大版必修

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1、第二章解析几何初步1　要点解读1.直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0°.解读　(1)直线的倾斜角分两种情况定义：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线.这样定义可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角.(2)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角.(3)不同的直线可以有相

2、同的倾斜角.(4)直线的倾斜角直观地描述了直线相对x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.解读　(1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒.(2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x轴.(

3、3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于x轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便.(4)当x1＝x2，y1≠y2时直线没有斜率.3.两条直线平行的判定对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.解读　(1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个：一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在.(2)当两条直线的斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，此时也有l1∥l2.4.两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率

4、之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.解读　(1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率.25(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.2　直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线与直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础.一、根据倾斜角求斜率例1　如图，菱形ABCD的∠ADC＝120°，求两条对角线

5、AC与BD所在直线的斜率.分析　由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tanθ.解　∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°.又菱形的对角线互相平分，∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°.∴∠DBx＝180°－∠DBA＝120°.∴kAC＝tan30°＝，kBD＝tan120°＝－.评注　本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确

6、定直线的斜率.二、利用两点斜率公式例2　直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l重合，求直线l的斜率k.分析　由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以采取在直线上取一点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率.解　设P(x，y)是直线l上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到Q(x－4，y＋3).∵Q点也在直线l上，∴k＝＝－.评注　①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与

7、“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x，y)沿x轴正方向平移a个单位，再沿y25轴正方向移动b个单位，坐标由(x，y)变为(x＋a，y＋b).②直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＝x2，y1≠y2，则倾斜角等于90°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在.三、利用待定系数法例3　如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率.分析　本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可

8、以考虑直线l的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.解　设直线l的方程为y＝kx＋b.把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y－1＝k(x＋3)＋b，即y＝kx＋3k＋b＋1.由条件，知y＝kx＋3k＋b＋1与y＝kx＋b为同一条直线的方程.比较系数，得b＝3k＋b＋1，解得k＝－.评注　本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.3　直线方程形式的相互转化直线方程的五种形式之间密切相关，可以进行相互转化.一、一般式方程转化为斜截式方程例1　已知直