2017-2018版高中数学第三章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质二学案北师大版选修2.doc

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1、1.2 椭圆的简单性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P(1,2)与椭圆+y2=1的位置关系.思考2 类比点与圆的位置关系的判定,你能给出点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判定吗?梳理 设P(x0,y0),椭圆+=1(a>b>0),则点P与椭圆的位置关系如下表所示:位置关系满足条件P在椭圆外+>1P在椭圆上+=1P在椭圆内+<1知识点二 直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系?思

2、考2 如何判断y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系?梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ>0,则直线和椭圆______;若Δ=0,则直线和椭圆______;若Δ<0,则直线和椭圆______.(2)根与系数的关系及弦长公式设直线l:y=kx+m(k≠0,m为常数)与椭圆+=1(a>b>0)相交,两个交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则线段AB叫作直线l截椭圆所得的弦,线段AB的长度叫作______.下面我们推导弦

3、长公式:由两点间的距离公式,得

4、AB

5、=,将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入上式,得

6、AB

7、===

8、x1-x2

9、,而

10、x1-x2

11、=,所以

12、AB

13、=·,其中x1+x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的,判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如,直线l:y=k(x-2)+1和椭圆+=1.无论k取何值,直线l恒过定点(2,1),而定点(2,1)在椭圆内部,所以直线l必与椭圆相交.类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P(

14、k,1),椭圆+=1,点在椭圆外,则实数k的取值范围为____________.引申探究若将本例中P点坐标改为“(1,k)”呢?反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆+=1(a>b>0)上,则(  )A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.以上都不正确命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 (1)直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是(  )A.相交

15、B.相切C.相离D.不确定(2)在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程,消元得到一元二次方程(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点.(2)Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点.(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.跟踪训练2 (1)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为(  )A.1B.1或2C.2D.0(2)若

16、直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则斜率k的值是(  )A.B.-C.±D.±类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.引申探究在本例中求弦AB的长. 反思与感悟 直线与椭圆的交点问题,一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题,即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题,一般应用弦长公式.而用弦长公式时,若能结合根与系数的关系“设而不求”,可大大简化运算过程.跟踪训练3 已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A

17、、B两点.(1)当直线l的斜率为时,求线段AB的长度;(2)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如

18、PA

19、+

20、PB

21、的最值问题,一般通过椭圆的定义把折线转化为直线,当且仅当三点共线时

22、PA

23、+

24、PB

25、取得最值.(2)求解形如

26、PA

27、的最值问题,一般通过二次函数的最值求解,此时一定要注意自

28、变量的取值范围.(3)求解形如ax+by的最值问题,一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.(4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.跟踪训练4 已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若点A的坐标为(3,0),

29、

30、=1,且·=0,求

31、

32、的最小值.1.若点A(a,1)在椭圆+=1的内部,则a的取值范围是(  )A.-C.-2

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