2017-2018版高中数学 第三章 不等式 2.2 一元二次不等式的应用学案 北师大版必修5.doc

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1、2．2　一元二次不等式的应用学习目标　1.会解简单的分式不等式和高次不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一　分式不等式的解法思考　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？梳理　一般的分式不等式的同解变形法则：(1)>0⇔________；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0.知识点二　穿针引线法解高次不等式思考　分别画出y＝x－1，y＝(x－1)(x－2)，y＝(x－1)(x－2)(x－3)的图像，并观察它们与相应的x－1>0，(x－1)(x－2)>0，(

2、x－1)(x－2)(x－3)>0的关系．梳理　一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为

3、所求解集．知识点三　一元二次不等式恒成立问题思考　x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？梳理　一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像全部在x轴____方．区间[a，b]是不等式f(x)>0的解集的________．恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：若f(x)有最大值，则k≥f(x)恒成立⇔k≥________；若f(x)有最小值，则k≤f(x)恒成立⇔k≤________.类型一　一元二次不等式在生活中的应用例1　某种汽车在水泥路面上的刹车距离(

4、刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车车速xkm/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01km/h)反思与感悟　一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练1　在一个限速40km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲，乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm

5、/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问谁应负超速行驶主要责任．类型二　分式不等式和高次不等式的解法例2　解下列不等式：(1)<0；(2)≤1；(3)(3x－1)(x＋3)(x＋1)<0.反思与感悟　分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可以．跟踪训练2　解下列不等式．(1)≥0；(2)>1；(3)≥0.类型三　不等式的恒成立问题例3　设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[

6、1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．反思与感悟　有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．跟踪训练3　当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m

7、≤22．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(01.　1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒