计算机仿真技术基础.ppt

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1、3.2基于Taylor级数匹配原理的仿真算法3.2.1taylor级数匹配原理(1)计算机仿真就是求式(1)的数值解，由于输入u(t)是关于t的函数，在求解微分方程(1)时看成是已知量，将函数f(t,x,u(t))直接记为f(t,x)，得到微分方程(2)记其解为x(t),如果f(t,x),对其变量t和x具有各阶的连续偏导数，则通过方程(2)可以推导x(t)的各阶导数的公式.例如有(3)(4)设已经知道x(t)在tm处的值xm=x(tm),由Taylor级数展开式(5)如果知道导数,的值，则当h比较小时，可以取级

2、数式(5)中的前p+1项之和作为x(tm+1)的近似值，将其记为xm+1。令(6)则(7)式(7)称为P阶Taylor展开法递推公式。xm+1与x(tm+1)之间的误差为(8)由式(3)可以计算出取式(5)的前两项作为x(tm+1)的近似值，得到公式(9)这就是Euler方法。由式(8)，xm+1与x(tm+1)之间的误差为(10)它是由精确值xm=x(tm)应用Euler法计算一步得到所引进的误差，称它为局部截断误差。由式(10)，当Euler法的局部截断误差与h2是同阶无穷小量，记为O(h2)。时，显然，E

3、uler法的精度是比较低的。为了提高它的精度，希望xm+1与x(tm+1)的Taylor展开式符合的项数更多，使得局部截断误差x(tm+1)-xm+1是h的更高阶无穷小量。从理论上讲，只要式(1)的x(t)解充分光滑，利用Taylor级数展开式可得到任意有限项的公式。但是，计算x(t)的高阶导数很困难。虽然可以按类似于式(3)和式(4)推导x(t)的各阶导数的公式，可是求复合函数的各阶偏导数往往是很复杂的。即使能得到解析公式，计算量也是很可观的。这表示直接应用展开式(5)构造精度较高的方法是不现实的。基本思想：

4、为了克服上述的困难，希望计算点(tm,x(tm))邻域中的若干个点(t,x(t))上的值。利用这些值构造x(tm+1)的近似值xm+1的计算公式，并且要求该公式在(tm,x(tm))处的Taylor展开式与式(5)的前若干项一致。我们称这种构造xm+1的思想为Taylor级数匹配原理。应用这种原理构造的xm+1的计算过程将不需要计算x(t)的高阶导数，或者只需计算一些比较低阶的导数，但与精确值x(tm+1)之间的误差是h的高阶无穷小量。下面应用Taylor级数匹配原理构造两类数字仿真方法。3.2.2Runge-

5、Kutta方法(龙格-库塔算法)由式(6)可见，Taylor展开法用f(t,x(t))在同一点(tm,xm)的高阶导数表示，因此不便于数值计算。Runge-Kutta方法是用f(t,x(t))在一些点上的值表示使局部截断误差的阶数和Taylor展开法相等。在区间[t,t+h]上，将式(1)写成下列积分形式(11)。若已知则用他们的一次组合去近似f(t,x(t))在区间[t,t+h]上取m个点(12)问题是如何计算ki（因x(ti)未知）。一个直观的想法是：设已知，由Euler法，图1二级Runge-Kutta方

6、法的构造同样利用Euler法又可从算出如此继续下去。节点ti和系数ci可如此选择，使近似式(12)有尽可能高的逼近解。下面以二阶Runge－Kutta方法的构造来说明Taylor级数匹配原理的应用。首先以步长h的Euler法从(tm,x(tm))处计算一步，记得到的点为，即有(13)是曲线x(t)在tm处的切线方向，如上图所示。为了改进的精度，再由Euler法一步长ah得到(tm,x(tm))的邻域中的另一个点。从x(tm)开始沿方向移动时间长度，得到(14)由图1可见，点在点和点的连线上。可以选取参数b1和b

7、2，构造量(3.46)(15)使得是的精度比更好的近似值。记。由上述的构造可以将成下列步骤：的计算归结(16)为了选取式(16)中待求的参数a,b1,b2,将k2在(tm,xm)处展开成Taylor级数，有(17)(18)xm+1可以展开成(19)将式(19)与x(tm+h)的Taylor级数展开式(5)进行比较，可以看出，若参数a,b1,b2,满足下列关系式(20)(21)由式(16)，则xm+1的展开式与x(tm+h)的展开式的前三顶一致，局部截断误差有表示式(22)它是h的三阶无穷小量，即有度比Euler

8、法高一阶。式(20)和式(21)含三个未知参数，但只有两个方程。可以得到含一个自由参数的解族。取a为自由参数，将b1,b2用参数a表示，得到，显然精(23)参数由式(23)确定的公式(16)是计算xm+1的一个方法类。该方法类中的方法都称为二阶显式Runge-Kutta方法(RK2)。下面给出该方法类中方法的两个最常用的方法。，求得，得到下面的公式取(24)称它为改进的Euler公式。