计算方法 12 牛顿迭代法-非线性方程.ppt

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1、牛顿迭代法–非线性方程2016/2017学年第一学期（16周）牛顿给出一种求解方法：在根附近任取一个点，曲线与在该点处的切线，该切线与轴线交点取作第二点，依次循环设方程有根，且，如图所示牛顿迭代法几何含义x*x0x1x2xky=g(x)牛顿迭代法几何含义x*x0x1x2xky=g(x)牛顿迭代法定义：从几何上看，越来越接近。由此，不难归纳出一般迭代公式以上方法称作牛顿迭代法（也称切线法）定理：设是方程的一个单根，且，则，牛顿迭代法以2阶速度收敛于方程根。证明：事实上，迭代函数，且当时，由迭代定理可知，牛顿迭代法以2阶速度收敛于。牛

2、顿迭代法例：证明以上公式，对于初值整体收收敛于，且收敛速度是2阶的。牛顿迭代法定义：对于给定正数a，应用牛顿迭代法解二次方程，可求的计算公式牛顿迭代法证明：从牛顿迭代法可得牛顿迭代法证明：反复递推可得牛顿迭代法证明：例题例：给出计算的牛顿迭代公式，并计算。例题解：设方程，则，代入牛顿迭代公式可得当a=3时，迭代公式为取，代入牛顿迭代公式，计算结果如表所示。01.5000000000000011.750000000000000.2521.732142857142860.0178571428571431.7320508100147

3、30.0000920471281341.732050807568880.0000000024458551.732050807568880例题例：设a>0，推导用牛顿迭代法计算1/a的公式，要求在迭代公式中不用除法进行运算，并计算1/6。例题解：设方程，则，代入牛顿迭代公式可得当a=6时，牛顿迭代公式为取，代入牛顿迭代公式，计算结果如表所示。00.15000010.1650000.01520.1666500.0016530.1668170.00016740.1666670.0007550.1666670例题例：用牛顿迭代法计算1/1.2

4、345。例题解：将转化为，代入牛顿迭代公式可得取，代入牛顿迭代公式，计算结果如表所示。01.0000000000000010.765500000000000.234520.807595036375000.04209503637530.810037145291130.0024421089161340.810044552382650.0000074070915250.810044552450380.0000000000677360.810044552450380例题例：设用牛顿迭代法求方程，在节点附近的根，要求精度。例题解：由，代入牛顿迭

5、代公式可得取，代入牛顿迭代公式，计算结果如表所示。00.50000010.5710200.07102020.5671570.00386330.5671430.00001440.5671430