解析几何答案 廖华奎 王宝富 第二章.doc

《解析几何答案 廖华奎 王宝富 第二章.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章直线与平面习题2.11.求通过两点和的直线方程。解：直线的方向向量为，所以直线的方程为2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。（1）过点；（2）过点和轴；（3）过点和，平行于轴；（4）过点，平行于平面。解：（1）平面的方位向量为，所以平面的参数方程平面的普通方程为即（2）平面的方位向量为，所以平面的参数方程因为过轴，所以也可选经过的点为，那么参数方程也可以写为平面的普通方程为即（3）平面的方位向量为，所以平面的参数方程平面的普通方程为即（4）平面的方位向量平行于平面，方位向量满足，因此可以

2、选为。所以平面的参数方程平面的普通方程为即3.在直角坐标系中，求通过点并与平面和均垂直的平面方程。解：平面的法向量分别是，所求平面与均垂直，所以它的法向量与均垂直，因此平面的方程为即4.在直角坐标系中，求经过点，垂直于平面的平面方程。解：设平面的法向量为，则它与垂直，它又与平面的法向量，故所以所求平面的方程为即5.在直角坐标系中，设平面的方程为，其中。设此平面与三坐标轴分别交于，求三角形的面积和四面体的体积。解：由于，所以平面的三个截距分别为。因此四面体的体积为三角形的面积而所以6.设平面与连接两点和的线段相交于

3、点，且，证明。证明：因为，所以由定比分点的坐标公式得到点的坐标将它们代入平面方程中得整理即得。习题2.21.求经过点，并且通过两平面与的交线的平面方程。解：经过交线的平面束方程为，其中不全为零。所求平面经过点，将它代入上式得到，可以取，因此平面的方程为2.判断下列各对平面的相关位置。（1）与；（2）与；（3）与。解：（1）平面的法向量分别是，它们不共线，所以两平面相交。（2）两平面的系数之比的关系为，所以两平面重合。（3）第二个平面的方程化为，所以两平面的系数之比的关系为，所以两平面平行。3.将下列直线的普通方程

4、化为标准方程。（1）（2）解：（1）方程可写成所以标准方程为（2）标准方程为4.求通过点且与两平面均平行的直线方程。解：直线的方向向量与已知两平面均平行，所以得到于是直线的方程为5.判断下列各对直线的位置。（1）；（2）解：（1）直线经过点，方向向量是，直线经过点，方向向量是。混合积所以两直线异面。（2）直线方程可分别化为经过的点分别是方向向量分别是混合积且所以两直线异面且互相垂直。6.求直线与平面的交点。解：将直线方程代人平面方程得到所以，故交点为。7.求通过直线且与直线平行的平面方程。解：通过直线的平面方程可

5、设为，由于平面与直线平行，所以，即，故平面方程为。8.在直角坐标系中，求直线在平面上的垂直投影直线的方程。解：垂直投影直线在过直线且垂直于平面的平面中，平面的方程为所以垂直投影直线方程是9.在仿射坐标系中，求过直线且在轴和轴上有相同的非零截距的平面方程。解：通过直线的平面方程可设为，由于平面在轴和轴上有相同的非零截距，所以，即，故平面方程为10.在中，设分别是直线上的点，并且。证明三线共点的充要条件是。证明：取仿射标架，则点的坐标分别是直线的方程分别为三线共点的充要条件是的交点在直线上。的交点为，将该点的坐标代人

6、直线的方程中化简得到。11.用坐标法证明契维定理：若三角形的三边依次分割成，其中均为正实数，则此三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。证明：由于，由上题的结论知道三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。12.证明：如果直线与直线交于一点，那么。证明：由于两直线交于一点，所以方程组有解，则齐次方程组有解，由齐次线性方程组有解的条件得到。13.在直角坐标系中，给定点和，直线，设各为在上的垂足，求以及的坐标。解：为向量在直线的方向向量的方向上的分量，故过点作与直线垂直的平面，它的方程为，过点作与直线垂直的平面，它的方程为

7、，将直线的参数方程分别代人，方程中，得所以14.求与三直线都相交的直线所产生的曲面的方程。解：与三直线都相交的直线设为，交点可设为，由于三点共线，所以，即有。直线的方程，即消去得到直线构成的曲面方程15.证明：包含直线，且平行于直线的平面方程为。若是之间的距离，证明。证明：包含直线的平面方程可设为，它的法向量为，它又与直线平行，此直线的方向向量是，所以，得到，于是平面方程为。直线的方向向量是，经过点。直线经过点，所以两直线的距离为，，因此，，故。习题2.31.在直角坐标系下，求下列直线方程。（1）过点且垂直于平面

8、；（2）过点且与三坐标轴夹角相等。解：（1）直线的方向向量是平面的法向量，所以直线的方程为（2）设直线的方向向量是，由于直线与三坐标轴的夹角相等，所以于是。因此直线有4条，方程为，，，。2.在直角坐标系中，求平面与面的夹角。解：平面的法向量为，面的法向量为，所以夹角的余弦为，夹角为或3.求到两个给定平面的距离成定比的点的轨迹。解：设点到两平面的距离之比为。如果两平面平行，