资源描述：
《空间曲线切向量和法向量向平面曲线的转移.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第9卷第2期北京印刷学院学报2001年6月Vol19No12JournalofBeijingInstituteofGraphicCommunicationJun12001文章编号:100428626(2001)0220054202空间曲线切向量和法向量向平面曲线的转移孟赵玲,李秀淳(北京印刷学院基础课部,北京102600)摘要:通过把平面曲线视为空间曲线与空间曲面的特殊情况,可以将空间关于切向量与法向量的结果运用到平面的有关计算上。关键词:平面曲线;空间曲线;曲面;切向量;法向量中图分类号:O172.1文献标识码:B在高等数学的教学中,有关微分
2、法在几何学的x=U(t)应用,通常只介绍空间曲线的切向量与曲面的法向y=W(t),因而切向量为量的求法,而对平面曲线的切向量及法向量的求法z=0并没有涉及。学生在处理平面曲线的问题,特别是T={U′(t),W′(t),0}。求平面曲线的法向量时,常常会感到困难,或者虽故平面曲线L的切向量为t={U′(t),W′(t)}。有个别问题解决了,但对于平面情况仍缺少清晰的1.2求平面曲线L:y=y(x)在x处的切向量t。认识。实际上,他们面对的是一个“如何把空间的结y=y(x)已知空间曲线在x处的切向量果转化到平面的结果”的问题,而这个问题本身就z=z
3、(x)为很有意义。在教学活动中我们体会到,如果把这个T={1,y′(x),z′(x)}。问题作为思考题留给学生,可以取到一举两得的效平面曲线可视为空间曲线的特殊情形,L:果:既可以促使他们全面考虑“平面”与“空间”的关y=y(x)系,又可以加深他们对空间结果的认识。下面将着,因而切向量为z=0重讨论处理这个问题所要考虑的各种情况与处理T={1,y′(x),0}。方法。故平面曲线L的切向量为t={1,y′(x)}。1.3求平面曲线L:F(x,y)=0在x处的切向1平面曲线切向量的求法量t。F(x,y,z)=0x=U(t)已知空间曲线在x处的切1.
4、1求平面曲线L:在t=t0处的切G(x,y,z)=0y=W(t)向量为向量t。x=U(t)T={1,y′(x),z′(x)}。已知空间曲线y=W(t)在t处的切向量平面曲线可视为空间曲线的特殊情形,L:z=V(t)F(x,y)=0,因而切向量为为Z=0T={U′(t),W′(t),V′(t)}。T={1,y′(x),z′(x)}={1,y′(x),0};平面曲线可视为空间曲线的特殊情形,L:而由方程F(x,y)=0Fx可求得y′(x)=-,切向量可进而写成Fy收稿日期:2001204216第2期孟赵玲,李秀淳:空间曲线切向量和法向量向平面曲线的
5、转移55FxW′(t)T=1,-,0或T={Fy,-Fx,0}。由参数方程求导公式:y′(x)=,由情形FyU′(t)故平面曲线L的切向量为2,L的法向量为W′(t)T={1,y′(x)}或T={Fy,-Fx}。n{y′(x),-1}=,-1或{W′(t),-U′(t)}。U′(t)3例1设平面曲线方程为F(x,y)=x+2平面曲线法向量的求法3y-2xy=0,求在点M0(1,1)处的切向量和法向量。2.1求平面曲线L:F(x,y)=0在x处的法向2解:Fx(1,1)=(3x-2y)û(1,1)=1,量n。2Fy(1,1)=(3y-2x)û(1
6、,1)=1,已知曲面F(x,y,z)=0在点(x,y,z)处的法故切向量为t={Fy(1,1),-Fx(1,1)}向量为={1,1};N={Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z)}。法向量为n={Fx(1,1),Fy(1,1)}={1,1}。平面曲线方程F(x,y)=0,可视为平行于z轴x=a(t-sint)的柱面的方程;而显然柱面上点(x,y,0)处的法向例2设平面曲线为,求在y=a(1-cost)量N={Fx(x,y),Fy(x,y),0}正是平面曲线L在Pt=处的切向量和法向量。点(x,y)处的法向量n,故平面曲线L的
7、法向量为4n={Fx(x,y),Fy(x,y)}。解:PP2x′=a(1-cost)ût==a1-,4422.2求平面曲线L:y=y(x)在x处的法向量n。P2平面曲线方程y=y(x)可写为F(x,y)=y′=asintût=P=a。442y(x)-y=0,由情形1,L的法向量22故切向量为t=(1-)a,a;n={y′(x),-1}。22x=U(t)2.3求平面曲线L:在t处的法向量法向量为n=2a,2-1a。y=W(t)22n。参考文献:[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.[2]高等学校工科数学课程教学
8、指导委员会本科组.高等数学释疑解难[M].北京:高等教育出版社,1992.
