本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法,最后介

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1、本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法，最后介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的Cramer法则。本章的重点内容是行列式的计算，主要是利用行列式性质和行列式展开法则。§1二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式：二元线性方程组：（1.1）分别消去变量x2、x1可得：(a11a22－a12a21)x1=b1a22－a12b2；(a11a22－a12a21)x2=a11b2－b1a21；当a11a22－a12a21≠0时，求得方程组(1.1)的解为：第一章行列式上述二阶行列式的定义可用对角线

2、法则记忆。于是有：若记：则(1.1)的解为：，即：称a11a22－a12a21为数表所确定的二阶行列式，记为例1求解二元线性方程组：解由于因此二、三阶行列式定义1.1设有9个数排成3行3列的数表（1.2）（1.3）(1.3)式称为数表(1.2)所确定的三阶行列式。记例2计算三阶行列式例3求解方程解方程左端的三阶行列式即2x2－12x+16=0，解得x=2或x=4。解D=12－6+12+36+12+2=68D=4x2+32+4x－16x－16－2x2=2x2－12x+16对三元线性方程组：若记：则当系数

3、行列式D≠0时，仍然有解：共有6种放法，这六个不同的三位数是：123，132，231，213，312，321由引例可知所有不同的3级排列共有6个。一般地，所有不同的n级排列共有n!个。引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题就是把三个数字分别放在百位、十位和个位上，共有几种不同的放法?定义1.2由n个数1,2,3,…,n所组成的一个有序数组称为一个n级排列。§2排列在一个排列中，当某两个数的先后次序与标准次序不同时，即较大的数排在较小的数前面，就说这两个数构成一个逆序。

4、对n个自然数，通常规定从小到大为标准次序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。例如:排列123中没有逆序，其逆序数为(123)＝0；排列132中有32一个逆序，其逆序数为(132)＝1；排列213中有21一个逆序，其逆序数为(213)＝1；排列231中有21、31二个逆序，则(231)＝2；排列312中有31、32二个逆序，则(312)＝2；排列321中有32、31、21三个逆序，则(321)＝3.用(j1j2…jn)表示n级排列j1j2…jn的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇

5、排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。例如:123、231、312为偶排列,132、213、321为奇排列。一般地，对n个自然数的一个排列p1,p2,…,pn考虑数pi(i=1,2,…,n),如果比pi大的且排在pi前面的数有ti个,就说数pi的逆序数是ti,全体数的逆序数的总和例4求排列24351的逆序数。解(24351)=t1+t2+t3+t4+t5=0+0+1+0+4=5t=t1+t2+……+tn就是这个排列的逆序数。在排列中,对调任意两个元素的位置的变换叫做对换。例如：13254→53214，

6、13254→14253都是对换。定理1.1对排列进行一次对换,改变排列奇偶性。证先证相邻对换的情形.设a1…akabb1…bm经一次相邻对换变为a1…akbab1…bm。显然,数a1，…ak，b1，…bm，的逆序数经对换并未改变,而a，b两数的逆序数改变为:当a＞b时,对换后a的逆序不变,b的逆序减少1;当a＜b时,对换后a的逆序增加1,b的逆序不变。所以对换后,改变排列的奇偶性。再证一般对换的情形.相当于先对a进行m次相邻对换变成a1…alb1…bmabc1c2…cn,设排列a1…alab1…bmb

7、c1c2…cn经一次对换变为a1…albb1…bmac1c2…cn再对b进行m+1次相邻对换变为a1…albb1…bmac1c2…cn。从而改变排列奇偶性。证毕。推论1对排列做奇数次对换改变排列的奇偶性，对排列做偶数次对换不改变排列的奇偶性。推论2在所有n(n>1)级排列中,奇、偶排列个数相同。推论3对任意n级排列j1j2…jn，都可以经过最多n－1次对换变为标准次序排列12…n，并且所做对换的次数与原排列有相同的奇偶性。§3n阶行列式的定义三阶行列式定义为而且，同样的结论对二阶行列式也成立，即也可写

8、成定义1.3设有n2个数，排成n行n列的数表作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积的代数和称为n阶行列式，记作简记为det(aij)或

9、aij

10、n。数aij称为行列式det(aij)的元素。n=1时,一阶行列式

11、a

12、=a,不要和绝对值符号相混淆。例5计算对角行列式解按定义有例6计算对角行列式解按定义有例7计算下列行列式(1)下三角行列式(2)上三角行列式作业习题A第22页1、2、3、4、5、6、7练习题习题B第25页1、2、3§4行列式的性质下面讨论行列