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1、青海师专学报(自然科学)JOURNALOFQINGHAIJUNIORTEACHERSCOLLEGE(NaturalScienceEdition)2000年第6期No6.2000感应电荷的等效电荷李涛(青海师范大学物理系,青海西宁810008)摘要:本文通过引入一种虚拟电荷感应电荷的等效电荷,来帮助我们解决一些较复杂的有关静电感应的问题。关键词:静电感应;感应电荷;等效电荷中图分类号:O442文献标识码:B文章编号:1007-0117(2000)06-0050-04静电感应现象是静电场中一个十分普遍的现象。当导体达到静电平衡时,导体表面上的感应电荷就有确定的分
2、布,而空间电场也因之确定。这里,电荷和电场是作为矛盾的双方相互制约的,一方面感应电荷的出现是由原电荷的电场引起的,另一方面感应电荷的出现和分布又影响着原电荷的电场。在通常情况下,我们常见的问题是已知电荷的分布求场强(电位)或已知场强(电位)求电荷的分布。当涉及静电感应问题时,情况就复杂的多。关键在于,感应电荷在导体表面的分布受电场的影响,而电场反过来又由电荷分布决定,这时只能把每个导体的形状、位置和总电量(或电位)作为已知条件求每个导体的感应电荷分布及空间各点的场强。这种计算原则上是可能的,但往往会遇到数学上的困难,所以一般对此类问题只能作一些定性的讨论。但如果我们利用一些巧妙的方法,在某些情
3、况下也能求得定量结果。本文就是通过介绍一种定量的分析方法镜像法来达到上述目的。所谓镜像法就是把导体上的感应电荷用集中在施感电荷的镜像点上的一个或几个等效电荷来代替,并使等效电荷和施感电荷在导体表面上各所产生的电位不变。由于加上等效电荷后并不改变施感电荷的电场分布,所以可以用场的叠加原理求空间电场分布(即电场强度),从而求出感应电荷的分布(即面电荷密度)。下面就通过两个具体的实例,详细介绍上述方法。例1有两块无限大接地平板相交成60角,在与两板等距离且与交点O相距为a的1点置一点电荷q,如图1所示,求两板上感应电荷的面密度。解将OM、ON两板看作镜面,则两板间的电场可以看成是点电荷q
4、与其镜像点的等效电荷在两板间的合成电场。等效电荷位于以o为中心,以1为顶点的正六角形的其余顶点上,如图1所示。设1、2、3、4、5、6各顶点与任意点P(x,y)的距离为r1、r2、r3、r4、r5、r6,根据镜像点的对称性,等效收稿日期:1999-03-05作者简介:李涛(1964),男,青海师范大学物理系讲师。50李涛:感应电荷的等效电荷电荷的电量从顶点2到6分别为-q、q、-q、q、-q。则P点的电位为:q111111U=(-+-+-)40r1r2r3r4r5r6P点若在OM平面上,由图1有:r1=r6,r2=r5,r3=r4,则U=0;P点若在ON平面上,r1=r2,r3=r6,
5、r4=r5,则U=0。因等效电荷的引入并不改变导体的电位,所以可以用等效电荷代替两导体平板上的感应电荷,由图1所示的几何关系可知:232a2r1=(x-a)+(y-)22222r2=x+(y-a)232a2r3=(x+a)+(y-)22232a2r4=(x+a)+(y+)22222r5=x+(y+a)232a2r6=(x-a)+(y+)22Uq2y-a2y-2a2y-a2y+a2y+2a2y+a因为=-(3-3+3-3+3-3)y80r1r2r3r4r5r6且当y=0时,r1=r6,r2=r
6、5,r3=r4,所以在OM平面上任意点的感应电荷面密度为:Uqa121OM=0Ey(y=0)=-0
7、y=0=-(3-3+3)y4r1r2r3由于1点与两导体平板等距离,两导体平板上产生的感应电荷相等,所以应有:qa121ON=OM=-(3-3+3)4r1r2r3图1图2例2在两接地且互相垂直的无限大导体平板之间放一点电荷q,其坐标为A(a,b),如图2所示,求导体平板上感应电荷的面密度和点电荷所受的作用力。解(1)、将两平面板ox、oy看作镜面,两导体平板之间的电场分布,可以看成是在A点的点电荷与其在B、C、D点的镜像等效电荷-
8、q、q、-q产生的电场的合成。设A、B、C、D四点与P(x、y)点的距离分别为r1、r2、r3、r4,则由图2可得P点的电位为:51青海师专学报(自然科学)q1111U=(-+-)40r1r2r3r4q1=[-40(x-a)2+(y-b)2111+-]222222(x-a)+(y+b)(x+a)+(y+b)(x+a)+(y-b)x方向的场强为:Uqx-ax-ax+ax+aEX=-=(3-
