澳门大学10-11,09-10入学考试试题 及 参考答案.pdf

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1、PastExaminationPapers2009/2010,2010/20112010/2011學年入學考試試題第一部分:七題全部作答。1.解不等式x51

2、x

3、。(8分)2xe12.設f(x)。xe(a)證明f(x)是增函數。(3分)1(b)求f(x)的反函數f(x)的表達式。(4分)33tantantanAtanB3.(a)證明tan3。[提示:tan(AB)。]213tan1tanAtanB(3分)1(b)求最小的正使得tan3。答案以arctan表示。tan(4分)4.(a)求下列方程組的通解:xyz1。(3分)2x

4、y4z5(b)用(a)的通解，求下列方程組的實解:xyz12xy4z5。(4分)yz362Syllabus2011/20122an3an45.設{a}為一正數列，使得aa,n12,,3,...。用數nn11n6學歸納法，證明a3n,1n12,,3,....。(8分)n6.(a)用恆等式)2cosAsinBsin(AB)sin(AB，證明2[coscos(2)cos(4)]sinsin(5)sin()。推導出24coscos()cos()0。(4分)33(b)如圖I

5、，ABC是等邊三角形，圓ABC的圓心為O，P其半徑為1，P為圓上一點。證明222

6、PA

7、

8、PB

9、

10、PC

11、6。OCB圖I[提示:設AOP，並用(a)的結果。](4分)7.一袋中有球九個，分別標有1至9號。若隨機同時抽出三個球，問(a)三個抽出的球的標號的乘積是偶數的概率是多少?(3分)(b)三個抽出的球的標號的和是偶數的概率是多少?(4分)第二部分:任擇三題作答，每題十六分。2m28.(a)設m為正整數。若在1(2xmx)的展開式中，x的係數為65，求m的值。(7分)rn(b)設n2為正整數及對於0rn，C是在1(x)的展開式中nrx的係數。63PastEx

12、aminationPapers2009/2010,2010/2011rr(i)證明nC(nr)C。(2分)n1n1222n22(n1)!(ii)證明(C)(2C)n(C)。nnn2[(n1])!2n1n1n[提示:考慮n1(x)n1(x)1(x)。](7分)9.圖IIACDBE如圖II，ABC是等邊三角形，其邊長為1。BCDE是梯形，CD//BE，BCD，

13、CD

14、2。平面ABC垂直於平面BCDE。2(a)求AD與平面BCDE所成的角。(5分)(b)設AED。22(i)以

15、

16、BE表

17、

18、AE及

19、

20、ED。由此，證明

21、BE

22、。2(7分)(i

23、i)求點C與平面ADE的距離。[提示:考慮三棱錐ACDE的體積。](4分)64Syllabus2011/20122x210.已知橢圓E:y1。222(a)若直線L:ymxc與橢圓E相切，證明1c2m。推導出若直線L過點)(h,k，則222(h)2m2hkm(k)10。(5分)(b)求過點()2,2並與橢圓E相切的兩直線的方程。(3分)(c)設)P(h2,為直線2y上一點，其中h2。設過點P並與橢圓E相切的兩直線L及L的斜率分別為m及m。1212(i)求mm及mm。(2分)1212(ii)若L及L的夾角是，求點P。(6分)1243211.(a)設y

24、2x15x24x。2dydy(i)求及。(2分)2dxdx32(ii)繪出曲線y2x15x24x，並在圖中把局部極大點、局部極小點和拐點標出來。(6分)32(iii)求所有可能的k值使得方程02x15x24xk有重根。[提示:考慮(ii)的圖像。](2分)322(b)求由曲線y2x15x24x與曲線y11x24x所包圍的區域的面積。(6分)12.(a)用棣美弗定理，證明53cos516cos20cos5cos。(6分)(b)用(a)的結果，求所有可能的值，其中0，使得cos是42方程16x20x50的根。(4分)65P

25、astExaminationPapers2009/2010,2010/2011(c)用(b)的結果，證明37911(cos)(1cos)(1cos)(1cos)。10101010163由此，或用其他方法，求sinsin。(6分)1010全卷完66Syllabus2011/20122010/2011ADMISSIONEXAMINATIONPAPERSectionI.Answerall7questions.1.Solvetheinequalityx51

26、x