澳门大学2011-2012入学考试数学A卷

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1、PastExaminationPapers2010/2011,2011/2012Syllabus2012/2013(b)推導出對任意正整數n，n(n1)(n2)(3n)1可被24整除。(2分)2011/2012學年入學考試試題6.在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C對應的邊。設第一部分:七題全部作答。sinB2(sinAsinC)。cosBcosCxy2161.解方程組。(6分)(a)證明cosB1。(4分)logxlogy5222(b)若b19，ac5

2、及ac，求a和c的值。(4分)2.解不等式(x

3、)1x

4、321。(7分)7.一袋中有紅球3個和白球7個。rnr(a)現隨機抽球三次，每次一個球。3.(a)設n和r為整數，0rn，及C是在1(x)的展開式中x的係n(i)若3個球是以取後不放回方式抽出，恰有1個紅球的概率是多少?r1rr1r1數。證明對於1rn1，C2CCC。nnnn2(2分)(3分)(ii)若3個球是以取後放回方式抽出，恰有1個紅球的概率是多少?n2(b)在1(ax)的展開式中，x和x的係數分別

5、為24及252，求a和(2分)n的值。(5分)(b)若以取後放回方式隨機抽球兩次，每次兩個球，4個球中恰有2個紅球的概率是多少?4.設}{a為等差數列。n(4分)aaa(a)設b12n，n,2,1。證明{b}是等差數列。nnn第二部分:任擇三題作答，每題十六分。(3分)(b)若aaa320及399aaa，求數列}{a的通項公12202322n8.式。(5分)D圖IAN5.(a)用數學歸納法，證明對任意正整數n，1M222F1223n(n)1n(n1

6、)(n2)(3n)1。(5分)12CEB6263PastExaminationPapers2010/2011,2011/2012Syllabus2012/2013如圖I，直三棱柱ABCDEF的側棱長為2，ABC是等邊三角形，其邊長2(b)求由曲線y5x與直線yx1所包圍的區域的面積。(6分)為1。設M為AB的中點，N為AE上一點，且MNAE。(a)證明CMAE。(3分)abb(b)證明AMN和AEB是相似三角形。從而求

7、

8、MN。(4分)11.(a)因式分解行列式bab。(5

9、分)bba(c)求三棱錐CAMN的體積。(4分)(b)設a為實數。已知以x,y,z為未知量的方程組:(d)求面ACE與面ABE所成的二面角，答案以arctan表示。(5分)axyz1(E)xayza。9.設L為過點P()0,1的一條直線，其斜率為m)(m0。直線L與拋物線2xyaza2y4x相交於兩不同的點A(x,y)和B(x,y)。1122求a的各值使得方程組(E)2222(a)證明x和x為方程mx2(m)4xm0的根。(1分)12(i)有唯一解;(

10、b)求m的取值範圍。(3分)(ii)有無限多解;2(c)以m表(xx)。(4分)12(iii)無解。(6分)222161(m)(1m)(d)證明

11、AB

12、4。(3分)(c)設a2。解方程組(E)。(5分)m1(e)設m。若C是x-軸上一點，使得ABC的面積為12，求點C。21021(i)12.(a)把複數以aib形式表示。(7分)(5分)20111(3i)35(b)(i)用棣美弗定理，或其他方法，證明5tan10tantantan5。24110tan5tan

13、10.(a)一底半徑為x的正圓柱，其體積為54。設該圓柱的表面面積(3分)(包括上、下兩底)為)S(x。(ii)以代換xtan及(i)的結果，證明方程254(i)證明S(x)2x，x0。(2分)5432xx5x10x10x5x10(*)2dSdS可變換成tan51。(3分)(ii)求及。(2分)2dxdx(iii)由此，或用其他方法，求方程(*)的五個根，答案以tan表示。(iii)繪出曲線)yS(x。在圖中(如有的話)把局部極大點、局部極小點(3

14、分)和拐點標出來。(5分)(iv)若1x6，求S(x)的最大值。(1分)全卷完6465PastExaminationPapers2010/2011,2011/2012Syllabus2012/2013(b)Deducethatforanypositiveintegern,n(n1)(n2)(3n)1isdivisibleby2011/2012ADMISSIONEXAMINATIONPAPER24.(2marks)6.InABC,a,b,caretheoppositesidesofth