量子力学 第一章 态矢量.doc

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1、序章基本背景知识1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」（简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”）2.初等量子力学的任务是：（1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」（2）寻找“态”随时间的「演化」规律3.从旧量子论到现代量子力学：（1）普朗克能量量子化假设（1900年）（2）爱因斯坦光量子假说（1905年）（3）光的

2、波粒二象性（1909年）（4）玻尔模型（1913年）（5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年）（6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量（1924年）（7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年）（8）薛定谔-波动力学（1926年）波函数统计诠释：是概率密度函数，（1926年）（9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年）（10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年）4.量子力学与经典力学的比较：量子力学经典力学研究对象在t时刻的位置无法确定只能确定在的出现概率可以确定t时刻的动量和

3、速度无法确定，速度无意义只能确定具有的概率且不可同时确定位置和动量位置、动量和速度同时确定研究对象的状态的描述波函数（复函数）或态矢量（复矢量）（实矢量函数）状态的演化方程薛定谔方程（复系数方程）牛顿第二定律（实系数方程）观测行为会影响对象（只有时间测量不影响）不会影响对象测量精度受不确定性原理限制且“某些”量无法同时测定可达到任意高可以同时测定所有物理量预测的测量结果某个结果出现的概率确定的值实际的测量结果确定的值或可能取值的统计平均确定的值*量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态的粒子（这称为「系综」（esemb

4、le）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值。这是由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A，之后的一切实验结果也都只会是A）关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章*不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节第一章态矢量和态空间本章提要：本章讨论量子力学的研究对象——态矢量和态空间。沿着三维实空间→复空间→内积空间&函数空间→无穷维空间的路线，将三维线性空间中的向量

5、展开、矩阵形式、坐标、基、内积、长度、正交性等概念推广到高维向量空间及函数空间，最后再到无穷维空间。然后介绍态矢量的相关性质。在这过程中，引入了简洁的狄拉克符号重新表示这些概念。最后给出量子力学第一条公设作为总结。1.态矢量：狄拉克指出粒子的量子态满足叠加原理。在经典物理学，用向量来描述符合叠加原理的物理量（如电场强度、力…）是惯用的做法。叠加原理适用于任何线性空间，于是，考虑在向量空间（又称线性空间）中处理量子力学。简单来说，用一个称为「态矢量」的矢量来描述粒子的状态，一般记作。考虑到波函数是复变函数，它应该是一个复矢量。①在介绍量子力学使用

6、的数学空间（希尔伯特空间）前，先来回顾线性代数的基本理论：②实线性空间的定义：见同济高数第六章第一节③复线性空间的定义：在上述定义基础上，把条件改写成（复数域）2.三维实线性空间：三维实向量全体构成三维实线性空间，为我们所熟知的空间①向量的展开：一个向量可以被表示为，其中称为基（向量），称为向量在基下的坐标。需要指出这样的分解是唯一的。②向量的矩阵表示：一个向量还可以被表示为一个列矩阵，注意矩阵表示中不出现基向量③基：空间里的一组向量构成基向量组的条件是（1）这组向量线性无关（2）任一向量在这组基下的坐标是唯一的④维数：空间的维数是最大基向量组

7、中向量的个数⑤点积：又称数量积，两个向量的点积被定义为，它也有矩阵形式；点积（内积）具有的性质是（同济线代第五版P111）⑥向量的长度：定义为模长。特别地，若，称其为单位向量⑦垂直：时称两个向量垂直。至此可对直角坐标系的常用基下精确定义：如果基向量组内任意两向量满足，就称为这组基为「标准正交基」，比如3.三维复线性空间：在基础上，在标量乘向量的规则中允许标量为复数，这时向量也就成为复向量（「坐标」是复数的矢量），这样就得到三维复线性空间。这时，要注意引入复共轭带来的变化4.复线性空间：现在考虑n维复线性空间，把这空间里的一个矢量记作，称为右矢主

8、要性质：在此列举几条重要性质（）（1）（2）（3）（4）（5）（6）展开：，称为基，称为坐标矩阵表示：5.内积空间：现在我们在里定义内积，它可看作中两